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il punto variabile della seconda conica, conica che può anch’essa essere una qualunque, fra le circoscritte, per la presenza delle nuove costanti A, B, C.

L’equazione

(3)	${\frac {A}{(\lambda -a)(\mu -a)}}+{\frac {B}{(\lambda -b)(\mu -b)}}+{\frac {C}{(\lambda -c)(\mu -c)}}=0$.

esprime manifestamente la condizione perchè la tangente $\lambda$ della prima conica passi per il punto $\mu$ della seconda. In virtù di quest’equazione ad ogni valore di $\lambda$ corrispondono due valori di $\mu$, individuanti i punti d’intersezione della retta $\lambda$ colla conica circoscritta, e, reciprocamente, ad ogni valore di $\mu$ corrispondono due valori di $\lambda$, individuanti le due tangenti che dal punto $\mu$ si possono condurre alla conica inscritta. Ciò posto consideriamo l’equazione

(4)	${\frac {A}{x-a}}+{\frac {B}{x-b}}+{\frac {C}{x-c}}=k$,

dove k è una costante arbitraria e x un nuovo parametro. Designando con $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ le tre radici, che per ora supponiamo diseguali, di quest’equazione, sostituendole nell’equazione medesima, ed eliminando k colla sottrazione, si ottengono tre equazioni del tipo

(5)	${\frac {A}{(x_{1}-a)(x_{2}-a)}}+{\frac {B}{(x_{1}-b)(x_{2}-b)}}+{\frac {C}{(x_{1}-c)(x_{2}-c)}}=0$

delle quali una qualunque è conseguenza necessaria delle altre due. Queste equazioni esprimono proprietà delle terne di radici $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ indipendenti da ogni valore particolare di k. Dando a k tutti i valori possibili, si ha una serie infinita di terne $(x_{1}\,x_{2}\,x_{3})$ formate di valori generalmente distinti, e nelle quali una qualunque delle radici, per esempio x_1, può prendere ogni valore possibile: infatti ponendo nell’equazione (4) $x=x_{1}$ si ottiene sempre per k un valore individuato. Ma, fissata $x_{1}$, le altre due radici associate $x_{2}$, e $x_{3}$, restano determinate dall’equazione di 2° grado in x

(5)’	${\frac {A}{(x_{1}-a)(x-a)}}+{\frac {B}{(x_{1}-b)(x-b)}}+{\frac {C}{(x_{1}-c)(x-c)}}=0$.