Matematiche Fascicolo primo/Tema I - Capitolo III
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CASO III.
16. Quando nella moltiplicazione d’un numero per un’altro il moltiplicando è compagno al moltiplicatore, come nel penultimo degli esempj di sopra (11); ossia quando i due fattori d’un prodotto sono trà loro uguali, questo prodotto, il quale non è che la somma di tanti numeri uguali, quante unità contiene uno di essi, dicesi potenza seconda d’uno di questi numeri, mentre questo stesso numero dicesi per estensione potenza prima di se medesimo.
La potenza seconda si suole spessissimo chiamare anche Quadrato; ed eccone la ragione.
Chiamandosi Quadrato una casella perfettamente quadra, disegnata sopra un piano, se s’imaginano tante file di caselle quadre compagne, quante sono le caselle d’una fila, è chiaro, che, essendo situate una accanto all’altra sullo stesso piano, formeranno una casella quadra più grande, ossia un Quadrato, il quale sarà composto di tante caselle quadre più piccole, quante sono quelle d’una fila ripetute in complesso un egual numero di volte.
Così per es. 10 file, di 10 caselle quadre l’una, formano un quadrato di 100 caselle; e però si dice, che 100, prodotto di 10 moltiplicato per 10, è il quadrato di 10.
17. Se il moltiplicando, invece di essere precisamente lo stesso del moltiplicatore, è piuttosto uguale alla di lui potenza seconda, od al quadrato; ossia, se trè fattori d’un prodotto sono trà loro uguali, questo prodotto, il quale non è, che la somma di tanti numeri uguali al quadrato d’uno di tali fattori, quante unità esso contiene, dicesi potenza terza d’un tal fattore.
La potenza terza si suole spessissimo chiamare anche Cubo; ed eccone quì pure la ragione.
Chiamandosi Cubo un dado, di cui le sei faccie sono quadrati tutti compagni, se sopra ogni casella del quadrato formato precedentemente s’imagina collocato un cubo compagno, di cui la faccia a contatto colla casella copra questa esattamente, si formerà uno strato di cubi tale, che, imaginandogliene soprapposto un’altro compagno, poi un’altro, poi un’altro, .... finchè si abbiano tanti strati quanti sono i dadi stati collocati in una fila di caselle del quadrato, si formerà pure un Cubo più grosso, il quale sarà composto di tanti primi cubi più piccoli, quante unità contiene il prodotto del quadrato del numero di quelli d’una fila, moltiplicato per questo stesso numero.
Così per es. 10 strati, di 10 file di 10 cubi l’una, formano un cubo più grosso, composto di 1 000 piccoli cubi compagni; e però si dice, che 1 000, prodotto di 100 moltiplicato per 10, è il cubo di 10.
18. Se, dopo aver formato il cubo d’un numero, esso si moltiplica per questo numero; ed il prodotto da capo per lo stesso numero, e così di seguito, i successivi prodotti, che resultano di quattro, cinque, ... fattori uguali si chiamano respettivamente quarta, quinta.... potenza; nè si distinguono con altri nomi particolari: la operazione poi, che si fà per ottenere le potenze d’un numero qualunque dicesi Elevazione a potenze.
19. Dal fin quì detto pertanto apparisce
1.° Che la seconda potenza, od il quadrato d’un numero non è, che la somma di tanti numeri uguali a lui medesimo, quante unità esso contiene.
2.° Che la terza potenza, od il cubo d’un numero non è, che la somma di tanti numeri uguali al suo quadrato, quante unità esso contiene.
3.° Che la quarta potenza d’un numero non è, che la somma di tanti numeri compagni al suo cubo, quante unità esso contiene.
E generalmente, che una potenza comunque elevata d’un numero non è, che la somma di tanti numeri uguali ad una sua potenza d’un grado inferiore d’una unità, quante unità contiene cotesto stesso numero.
20. Volendosi adesso occupare in particolare della elevazione d’un numero al quadrato ed al cubo, e desiderando di far vedere, come ciascuna delle cifre d’un tal quadrato, o cubo si possano determinare per mezzo di quelle del numero stesso, indipendentemente dalla maniera solita di eseguire la moltiplicazione, noi cominceremo dal fare le seguenti osservazioni.
Siccome per la formazione del quadrato d’un numero, dopo avergliene sottoscritto un’altro compagno, non si ha da far altro, a cominciar da destra, che moltiplicare la prima, seconda, terza .... cifre superiori per la prima inferiore; e poi da capo la prima, seconda, terza, ... cifre superiori insieme di mano in mano separatamente per la seconda, per la terza, ... cifra inferiore, così è facil vedere, che in sostanza ci riduciamo a moltiplicare
1.° La prima cifra superiore per la prima inferiore.
2.° La seconda, terza, ... cifre superiori insieme per la prima inferiore.
3.° La prima cifra superiore per la seconda, terza, ... cifre inferiori insieme.
4.° La seconda, terza, ... cifre superiori insieme per la seconda, terza, ... cifre inferiori parimente insieme.
Quindi è, che, siccome coteste cifre inferiori e superiori corrispondenti sono trà loro respettivamente compagne, e perciò il prodotto 2.° della seconda, terza, ... cifre superiori insieme per la prima inferiore equivale al prodotto 3.° della prima cifra superiore per la seconda, terza, ... cifre inferiori insieme (14), così si conclude, che per formare il quadrato d’un numero qualunque di più cifre si deve fare a parte
1.° Il quadrato della sua prima cifra a destra, ossia il quadrato delle unità.
2.° Il doppio del prodotto di questa cifra per le altre a sinistra, le quali compongono un numero di diecine.
3.° Il quadrato di queste seconde cifre, ossia il quadrato del numero delle diecine espresso da esse.
Da queste osservazioni è facil concludere, che per formare il quadrato d’un numero qualunque, in un modo diverso dalla moltiplicazione ordinaria, si può tenere la regola seguente
«1.° Scritto cotesto numero, e tirato sotto frego, se ne faccia parzialmente il prodotto per la sua prima cifra a destra, coll’avvertenza, che nell’atto, che si moltiplica per lei ciascuna cifra a sinistra, si raddoppj ciascun prodotto.
«2.° Soppressa, od imaginando soppressa la prima cifra a destra, si faccia pure parzialmente il prodotto del numero, che resta, per la sua prima cifra a destra coll’avvertenza medesima, e così di seguito fino alla ultima cifra a sinistra, che si moltiplicherà per se stessa soltanto.
«3.° Si scriva ciascun prodotto parziale sotto il frego tirato in modo, che la prima cifra dell’uno corrisponda alla terza del precedente, e poi si sommino tutti.
La ragione di questa ultima avvertenza si è, che dopo la soppressione di mano in mano fatta della prima cifra, che si riguarda come di unità, il numero espresso dalle altre, che restano, essendo di diecine, il suo quadrato è un numero di centinaja.
Si debba per un’esempio della operazione prescritta da questa regola fare il quadrato del numero 7 345.
Ecco il tipo del calcolo
| 7 | 345 | |
| 73 | 425 | |
| 585 | 6 | |
| 4 | 29 | |
| 49 | ||
| 53 | 949 | 025 |
«5 via 5, 25. (Ritengo 2 e segno 5).
«4 via 5, 20; e 20, 40; e 2 di ritenuto, 42. (Ritengo 4, e segno 2).
«3 via 5, 15; e 15, 30, e 4, 34. (Ritengo 3, e segno 4).
«5 via 7, 35; e 35, 70; e 3, 73. (Segno 73).
«4 via 4, 16. (Ritengo 1, e segno 6 sotto la terza cifra 4 del prodotto precedente).
«3 via 4, 12; e 12, 24; e 1, 25. (Ritengo 2, e segno 5).
«4 via 7, 28; e 28, 56; e 2, 58. (Segno 58).
«3 via 3, 9. (Segno 9 sotto la terza cifra 8 del prodotto precedente).
«3 via 7, 21; e 21, 42. (Segno 42).
«7 via 7, 49. (Segno 49 nel modo solito).
Tirando frego ed addizionando i prodotti parziali ottenuti nella loro somma 53 949 025 ho il quadrato del numero 7 345.
21. È vero, che per la esecuzione del calcolo bisogna sapere mentalmente addizionare de’ numeri di due cifre l’uno; ma ciò si suppone volentieri, in quanto che l’abitudine ad addizionare ci deve a questa ora avere insegnato a farlo.
Ecco il tipo del calcolo di trè altri esempj per servir d’esercizio
| 34 | 027 | 12 | 372 | 978 | 998 | ||||
| 476 | 329 | 49 | 484 | 15 | 663 | 904 | |||
| 1 | 360 | 4 | 1 | 726 | 9 | 176 | 210 | 1 | |
| 256 | 7 | 29 | 1 | 761 | 21 | ||||
| 9 | 44 | 15 | 584 | ||||||
| 1 | 130 | 9 | |||||||
| 1157 | 836 | 729 | 81 | ||||||
| 153 | 066 | 384 | |||||||
| 958 | 437 | 084 | 004 | ||||||
22. Passando adesso a vedere, come si può formare il cubo d’un numero in un modo diverso dalla moltiplicazione ordinaria, siccome il cubo d’un numero si ottiene col moltiplicarne il quadrato per lo stesso numero, così, decomponendosi questo numero nella cifra delle sue unità semplici, ed in quelle delle sue diecine, bisognerà moltiplicare prima per cotesta cifra e poi per le altre i trè resultati di sopra (20) ottenuti, cioè
Il quadrato della prima cifra
Il doppio del prodotto di questa cifra per le altre
Il quadrato di queste seconde cifre.
Ora per la prima di queste è facil vedere che si avrà
1.° Il cubo della prima cifra
2.° Il doppio del prodotto del di lei quadrato per le altre cifre
3.° Il prodotto di lei pel quadrato di queste.
Facendo poi la seconda moltiplicazione si avrà
4.° Il prodotto del quadrato della prima cifra per le altre.
5.° Il doppio del prodotto di lei pel quadrato di queste.
6.° Il cubo di queste stesse cifre.
Riunendo insieme il doppio prodotto 2.° col prodotto 4.° ciò che si può, si ha
Il triplo del prodotto del quadrato della prima cifra per le altre; e riunendo il prodotto 3.° col doppio prodotto 5.°, ciò che pure si può, si ha
Il triplo del prodotto della prima cifra pel quadrato delle altre
La riunione adunque di 1.° 2.°, 3.°, 4.° 5.°, 6.°, ci darà
1.° Il cubo della prima cifra
2.° Il triplo del prodotto del di lei quadrato per le altre
3.° Il triplo del prodotto di lei pel quadrato di queste
4.° Il cubo di queste stesse cifre.
Quindi si conclude, che per la formazione del cubo d’un numero qualunque di più cifre si potrà fare a parte
1.° Il cubo della sua prima cifra a destra, ossia il cubo delle unità.
2.° Il triplo del prodotto del quadrato di questa cifra per le altre a sinistra, le quali compongono un numero di diecine.
3.° Il triplo del prodotto del quadrato di queste seconde cifre per la prima, e addizionar tutto; e poi alla somma aggiungere
4.° Il cubo delle cifre delle diecine.
23. All’oggetto di facilitare la esecuzione materiale del calcolo ne’ diversi esempj d’applicazione, che andiamo a dare, noi faremo alcune osservazioni.
Siccome il triplo prodotto 2.° del quadrato della prima cifra per le altre si può fare col moltiplicare per la prima cifra il prodotto di lei stessa pel triplo delle altre, ed il triplo prodotto 3.° del quadrato di quest’altre cifre per la prima si può pur fare col moltiplicare per questa quelle medesime cifre, e pel triplo loro, così dovendosi riunire insieme, cotesti due prodotti 2.° 3.° con un pò di riflessione è facil persuadersi, che si potrà ottenere la loro somma col fare il prodotto di tutte le cifre pel triplo di quello della prima, moltiplicata per le altre, ossia, prima col fare il triplo del prodotto di tutte le cifre, moltiplicate per loro medesime, tolta la prima cifra, e poi col moltiplicare l’ottenuto prodotto per questa stessa cifra.
Ma dovendosi aggiungere al resultato il cubo 1.° della prima cifra, il quale s’effettua col moltiplicare il di lei quadrato per lei stessa, con un pò di riflessione pure è facil persuadersi, che la riunione di 1.°, 2.°, 3.°, insieme s’effettuerà col far l’addizione del quadrato della prima cifra, e del prodotto di ciascuna delle altre moltiplicate pel triplo di tutte, e poi col moltiplicar la somma per la prima medesima cifra.
Quest’ultimo resultato proveniente dalla riunione di 1.°, 2.°, 3.°, ch’esclude il cubo del numero proposto mutilato della prima cifra, cioè il prodotto 4.°, chiamandosi un prodotto parziale, da quanto abbiamo detto intorno alla formazione del cubo d’un numero, noi possiamo per la esecuzione materiale del calcolo prescrivere la regola seguente.
«Si faccia a parte il quadrato della prima cifra a destra del numero proposto; e poi, moltiplicando questo numero successivamente per ciascuna delle altre sue cifre a sinistra, coll’avvertenza di triplicare ciascuno de’ prodotti di cifra per cifra, i prodotti totali, che di mano in mano s’ottengono, considerati respettivamente come numeri di diecine, centinaja, migliaja, ..., si scrivano sotto il quadrato fatto, considerato come numero d’unità semplici. La somma di questi numeri così scritti, moltiplicata per la prima cifra, ci darà uno de’ prodotti parziali, che si vogliono, il quale si scriverà come numero d’unità sotto il numero proposto separato da un frego.
«Soppressa, od imaginando soppressa nel numero proposto la prima cifra, si ripeteranno per rapporto al numero residuo le stesse operazioni; ed, ottenuto un secondo prodotto parziale, questo si scriverà sotto al prodotto precedente, coll’avvertenza, che la sua prima cifra corrisponda in colonna alla quarta di quello, per la ragione, che, attesa la soppressione fatta della prima cifra nel numero proposto, il numero residuo essendo di diecine, il secondo prodotto parziale ottenuto, ch’è porzione del cubo di cotesto numero residuo, và considerato come un numero di migliaja.
«Operando nello stesso modo di seguito sino alla ultima cifra, cioè sino alla prima a sinistra del numero proposto, soppresse, od imaginando soppresse tutte le altre, di questa cifra sì farà soltanto il cubo, il quale si scriverà coll’avvertenza medesima sotto l’ultimo prodotto parziale ottenuto.
«La somma di tutti cotesti prodotti parziali e dell’ultimo cubo parziale sarà il cubo totale del numero proposto.
Si voglia per un esempio il cubo del numero 3 564.
Ecco il tipo del calcolo
| 3 | 564 | 16 | 36 | 25 | |||||||
| 641 | 52 | 53 | 40 | 3 | 15 | ||||||
| 152 | 254 | 144 | 5 | 346 | 0 | 320 | 4 | 9 | |||
| 2 | 243 | 016 | 32 | 076 | 3 | 175 | |||||
| 15 | 875 | 373 | 836 | ||||||||
| 27 | 38 | 063 | 536 | ||||||||
| 45 | 270 | 270 | 144 | ||||||||
«4 via 4, 16. (Scrivo a parte 16)
Addiziono, e poi moltiplicando la somma 38 063 536 per la prima cifra 4, porto il prodotto parziale 152 254 144, che trovo, sotto al numero proposto separato da un frego.
Obliata la prima cifra 4, sul numero residuo 356 opero nello stesso modo come segue
Addiziono, e poi moltiplicando la somma 373 836 per la cifra 6, scrivo il nuovo prodotto parziale 2 243 016, che trovo, sotto al precedente, come si vede.
Obliata anche la cifra 6, sul nuovo numero residuo 35 opero pure così
Addiziono, e poi moltiplicando la somma 3 175 per la cifra 5, scrivo il nuovo prodotto parziale 15 875, che trovo, sotto al secondo precedente, come si vede.
Finalmente dopo aver fatto pure a parte il quadrato 9 della prima cifra 3 a sinistra, moltiplicandolo per 3, porto il cubo 27 che trovo, al suo posto, come si vede.
Addiziono tutto, e trovo pel cubo del numero proposto 3 564 il numero 45 270 270 144.
Ecco il tipo del calcolo di due altri esempj per servir d’esercizio
| 3 | 714 | 16 | 1 | 9 | |||||||
| 111 | 42 | 77 | 91 | 3 | 37 | ||||||
| 165 | 347 | 344 | 7 | 799 | 4 | 333 | 9 | 9 | |||
| 411 | 811 | 33 | 426 | 3 | 379 | ||||||
| 23 | 653 | 411 | 811 | ||||||||
| 27 | 41 | 336 | 836 | ||||||||
| 51 | 230 | 158 | 344 | ||||||||
| 32 | 068 | 64 | 36 | 4 | ||||||||||
| 5 | 772 | 24 | 1 | 923 | 6 | 2 | 88 | |||||||
| 24 | 674 | 402 | 432 | 192 | 408 | 28 | 854 | 9 | ||||||
| 184 | 665 | 816 | 2 | 886 | 12 | 2 | 884 | |||||||
| 5 | 768 | 30 | 777 | 636 | ||||||||||
| 27 | 3 | 084 | 300 | 304 | ||||||||||
| 32 | 977 | 340 | 218 | 432 | ||||||||||