Matematiche Fascicolo terzo/Tema terzo - Capitolo II/Caso I

by Anonimo

Caso I

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Anonimo - Matematiche Fascicolo terzo (1839)

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CASO I.

Addizione delle Frazioni.

Si assegna la seguente regola.

«Si riducano prima coteste frazioni al medesimo denominatore, se lo hanno diverso, nel modo che abbiamo precedentemente insegnato (ivi num.ⁱ 8, 9). Poi, riguardando i numeratori delle trasformate come numeri interi concreti di una certa specie, si faccia l’addizione di tutti, ed alla somma si dia per denominatore il loro comune.

«La frazione resultante, considerata come astratta, sarà la caratteristica della somma delle proposte».

Cosi, riducendo le tre frazioni per es. ${\frac {2}{3}}$, ${\frac {3}{4}}$, ${\frac {5}{8}}$ al medesimo denominatore 24, ch’è il più piccolo possibile, siccome resultano le trè trasformate ${\frac {16}{24}}$, ${\frac {18}{24}}$, ${\frac {15}{24}}$, si avrà per somma la frazione impropria ${\frac {49}{24}}$.

Se quì si fà attualmente, come sappiamo, la divisione di 49 per 24, si hà 2 per quoziente ed 1 per resto. Riguardando dunque il numeratore 49, come resultante dall’addizione del resto 1 al prodotto del quoziente 2 pel divisore o denominatore 24 (ivi n.° 14), si può giudicare, che la frazione impropria ${\frac {49}{24}}$ provenga anche dall’addizione delle due ${\frac {48}{24}}$, ${\frac {1}{24}}$, ossia ${\frac {2}{1}}$, ${\frac {1}{24}}$; cioè del numero intiero 2 e della frazione propria ${\frac {1}{24}}$. Per questo motivo, invece di ${\frac {49}{24}}$, scriveremo $2{\frac {1}{24}}$.

Potendosi in questa guisa dalle frazioni improprie estrarre gl’intieri in esse contenuti, prendendo cioè per l’intiero d’una frazione impropria l’attual quoziente del suo numeratore diviso pel denominatore, ed il resto per numeratore della frazione residua, si sogliono ordinariamente proporre, quando abbisognino per degli esempj, delle frazioni proprie. Per questo motivo, mentre queste diconsi anche genuine, chiamansi quelle frazioni spurie.

Occorrendo in seguito di dovere o volere dividere un numero intiero, concreto o nò, per un altro astratto, siccome la operazione, piuttostochè eseguirsi, si potrà anche soltanto accennare (ivi n.° 3), collo scrivere il secondo numero sotto al primo separato da un taglio a guisa di frazione, così questa frazione potrà poi spezzarsi in due parti, una delle quali sia il quoziente, che resulta dall’attual divisione eseguita, e l’altra sia una frazione genuina, che abbia per numeratore il resto, e per denominatore il divisore.

È utile qui il notare, che una frazione qualunque si può anche riguardare come resultante dall’addizione di più frazioni dello stesso suo denominatore, i respettivi numeratori delle quali siano ciascuna cifra significativa del suo numeratore, seguita respettivamente da tanti zeri, quante cifre essa vi ha dopo di se.

Del resto, quando le frazioni sono accompagnate da numeri intieri, per aver la somma degli uni e delle altre, si addizionano prima le frazioni, e poi gl’intieri, ai quali si riuniscono quelli estratti dalla prima somma, se ne contiene.

Così per aver la somma di $3{\frac {1}{2}}$ e $4{\frac {3}{4}}$, addizionando ${\frac {1}{2}}$ e ${\frac {3}{4}}$ si hà ${\frac {5}{4}}$, ossia $1{\frac {1}{4}}$; e però addizionando ora gl’intieri 3, 4, 1 si ha $8{\frac {1}{4}}$ per la somma voluta.

Parimente per aver la somma di $11{\frac {5}{4}}$, $4{\frac {2}{3}}$, $2{\frac {5}{6}}$, ${\frac {7}{12}}$, $3{\frac {1}{2}}$, addizionando prima la frazione ${\frac {3}{4}}$, ${\frac {2}{3}}$, ${\frac {5}{6}}$, ${\frac {7}{12}}$, ${\frac {1}{2}}$, ovvero ${\frac {9}{12}}$, ${\frac {8}{12}}$, ${\frac {10}{12}}$, ${\frac {7}{12}}$, ${\frac {6}{12}}$, si trova ${\frac {40}{12}}$, ossia $3{\frac {1}{3}}$, per somma, e però addizionando poi gl’intieri 11, 4, 2, 3, 3 si hà $23{\frac {1}{3}}$ per la somma voluta.