Matematica allegra/1308
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Un problemino di uova, ottime specialmente se ben frullate, con molto zucchero. Vedi zabaglione.
«Una contadinella portò, al mercato delle uova: al primo cliente che trovò vendette la metà delle uova, più mezzo uovo; al secondo metà delle rimanenti più mezzo uovo; al terzo metà delle rimanenti più mezzo uovo; e al quarto infine diede l’unico uovo rimastole. Quante uova aveva?».
Intanto non spaventatevi per quel mezzo uovo... è chiaro che le uova erano in numero dispari, cosicché la loro metà più mezzo uovo fa un numero intero. Non solo: ma anche le uova restate dopo la prima vendita e dopo la seconda devono essere in numero dispari per lo stesso motivo. Dopo la terza vendita son pure restate in numero dispari... perché l’ultima vendita è di un uovo solo. Insomma, tutti i resti calcolati in questo modo devono essere dispari. Come vi sarà facile verificare, entro i primi 30 numeri solo il numero 15 risponde a tale requisito: la metà di 15 più 1/2 è, 8, con resto 7; la metà di 7 più 1/2 è 4, con resto 3; la metà di 3 più un mezzo è 2, con resto 1. Anche dopo il 30 non esiste un numero dispari che risponda al quesito proposto dal problema.
Se invece di essere 4 i clienti (l’ultimo con un uovo solo) fossero 5 (l’ultimo sempre con un uovo solo) il numero 31 darebbe la soluzione; se fossero 6 (l’ultimo c. s.) la soluzione sarebbe 63, ecc ... Ma 15 = 24 – 1; 31 = 25 - 1; 63 = 26 - 1; ecc ...
Cosicché si può concludere che la soluzione dei problemi di questo tipo è data dalla potenza di 2 che ha per esponente il numero dei compratori, diminuito di 1.