Matematica allegra/1301
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Quando Archimede ebbe offerto a Gerone di Siracusa la sua grande invenzione la leva che, come abbiamo visto gli permise di condurre rapidamente a fine il suo grande palazzo, il Re gli disse di chiedere quel che più gli fosse gradito: qualunque cosa egli avesse desiderato, sarebbe stato lieto di concedergli.
Archimede pensò un attimo, poi disse: « Maestà, il primo piano del vostro palazzo ha 64 camere; ebbene, Vostra Maestà mi conceda un chicco di grano per la prima camera, due chicchi per la seconda, quattro per la terza, otto per la quarta, e così via raddoppiando fino alla sessantaquattresima». Il Re fu sorpreso della richiesta dello scienziato, che gli parve molto modesta... e non vide così esprimendosi, il risolino che si perdeva fra la barba di Archimede. Ma quando diede al suo Intendente l’ordine di provvedere, ed ebbe da questi le cifre che alla richiesta si riferivano, non sorrise più... e cercò di accomodare la faccenda con lo scienziato che, come tutti gli uomini di studio, non era attaccato al danaro e alla ricchezza. Vogliamo vedere un po’ noi quale sorta di disastro nazionale conteneva la richiesta di Archimede? (Intanto è bene tener presente che questo problemino è presentato talora come la richiesta fatta da Archimede, o da scienziati più lontani nel tempo, a compenso di una partita vittoriosa agli scacchi: 1 chicco di grano per il primo quadratino della scacchiera, due per il secondo, quattro per il terzo, e così via fino al 64° Ma, detto in un modo o nell’altro, il problema è sempre lo stesso).
Vi dirò, per entrare in argomento, che le serie di numeri che esaminiamo, si chiamano progressioni geometriche: in esse ogni numero si ottiene dal precedente, moltiplicando per un numero fisso che si dice ragione. In questo caso la ragione è 2, ogni numero si ottiene dal precedente moltiplicando per 2. La soluzione del nostro problema consiste nel trovar la somma di tutti i chicchi di grano: si tratta cioè di trovare la somma di tutti i termini di una progressione geometrica dal 1° termine al 64°. Per far ciò esiste una formuletta che voi non conoscete: epperciò ne faremo a meno. Troveremo una strada più semplice.
Cominciamo con l’esaminare in parte la serie che ci interessa: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,... Vediamo che la somma dei primi due numeri è uguale al 3° diminuito di 1 (1 + 2 = 4 - 1 = 22 - 1); la somma dei primi tre numeri è uguale al 4° diminuito di 1 (1 + 2 + 4 = 8 - 1 = 23 - 1); la somma dei primi quattro numeri è uguale al 5° diminuito di 1 (1 + 2 + 4 + 8 = 16 - 1 = 23 - 1); e così via. In tal modo la somma dei primi 30 numeri sarà uguale al 31° diminuito di 1, ossia 230 - 1; e infine la somma dei 64 numeri sarà 264 - 1.
Per trovare 264, potete moltiplicare il 2 sessantaquattro volte per se stesso, o applicando una regoletta sulle potenze delle potenze (robetta di 1a media), fare, ad esempio la 4a potenza di 216 cioè (216)4, (65536) 4 che è uguale a (4294967296) 2 = 18.446.744.073.709.551.616.
Questo numero di venti cifre, diminuito di 1 dà precisamente il numero di chicchi di grano che Gerone avrebbe dovuto consegnare ad Archimede.
Precisamente:
18.446.744.073.709.551.615 chicchi di grano.
Per darvi una idea del guaio capitato al regno di Siracusa, vi fornirò alcuni dati.
Calcolando che i chicchi di grano fossero di grossezza minima, tali da pesare solo 5 centigrammi ognuno, e che un ettolitro di grano pesi 80 chili, ogni ettolitro conterrebbe 1.600.000 chicchi, mentre un quintale ne conterrebbe 2.000.000, e una tonnellata 20.000.000. L’insieme di tutti i chicchi di grano peserebbe quintali 9.223.372.036.854,7758075; a prezzo d’ammasso di L. 6 mila il quintale, costerebbe L. 55340232221128654,8450 (cinquantacinque milioni di miliardi).
Per trasportare quel grano con delle navi, ognuna delle quali ne potesse caricare 10.000 tonnellate, ossia navi di forte tonnellaggio, occorrerebbero navi 9.223.372; se ognuna di esse fosse lunga metri 150, la lunghezza totale delle navi sarebbe di Km. 1.383.506; schierate per il lungo sopra un meridiano, fascerebbero 34 volte e mezzo la terra.
Riferendoci al prezzo, vi dirò che - valutando l’oro a L. 700 il grammo, e al peso specifico 19 - tale prezzo equivarrebbe al valore di 4 milioni abbondanti di metri cubi d’oro fino, ossia a un cubo d’oro di 160 metri circa di lato: una volta e mezza il volume della piramide di Cheope!
Commenti non ne faccio: le cifre si commentano da sé. Penso soltanto alla faccia di re Gerone, quando l’intendente gli avrà riferito di che cosa si trattava!
- Ah! questi matematici! - avrà esclamato - che razza di filibustieri!
E il buon Archimede intanto, si stava forse facendo fra la barba, le più allegre risate...