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TEOREMI FONDAMENTALI SULLE DERIVATE, ECC.

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velocitò media nell'intervallo ( $a,\,a+h$ ), mentre $f'(a+\theta \,h)$ rappresenta la velocità all'istante intermedio $a+\theta \,h$ . La formola precedente dice dunque soltanto che la velocità media in un certo intervallo di tempo è uguale alla velocità in un qualche istante intermedio. E ciò è ben chiaro: Se, p. es., un treno percorre 300 km. in cinque ore, cioè con una velocitò media di 60 km. all'ora, potrà darsi benissimo che in qualche istante il treno sia fermo, in qualche altro abbia velocità di 80, di 100 km. all'ora; ma esiste certamente almeno un istante del viaggio, in cui la velocità del treno è proprio uguale alla velocità media di 60 km. all'ora (almeno se ammettiamo che la velocità varii in modo continuo, cioè sia una funzione continua del tempo $x$ . La dimostrazione, che daremo, prova però che il nostro teorema vale anche in casi più generali).

Anzi, se ricordiamo quanto abbiamo detto al § 47, troviamo che la penultima formola di esso (pag. 158) coincide proprio con quella che abbiamo ora scritta: appena si pongono $a$ e $k$ al posto di $x$ e $\lambda$ , e si ricordi che $F$ è uguale alla derivata della $f(x)$ . Si può dire dunque che no iabbiamo enunciato il teorema di cui qui ci occupiamo ancora prima di definire la derivata di una funzione (almeno nel caso particolare che questa derivata sia continua).

γ) Si voglia ora dimostrare il nostro teorema in modo generale e rigoroso. E cominciamo a supporre $f(a)=f(b)$ . In questo caso la nostra proposizione assume la seguente forma precisa (teorema di Rolle).

Se f(x) è una funzione continua definita nell'intervallo (a, b) tale che f(a)=f(b), e se possiede derivata (finita) in tutti i punti interni a questo intervallo, esiste in esso almeno un punto c, per cui f'(c) $=$ 0.

Nell'enunciato di questo teorema non si ammette nè che $f'(x)$ sia continua, nè che $f'(x)$ esista agli estremi dell'intervallo $a,\,b$ ). Si potrebbe anche ammettere che nei punti interni a questo intervallo la $f'(x)$ fosse infinita, purchè di segno determinato.

Per il teorema di Weierstrass la $f(x)$ assume almeno in un punto $A$ di questo intervallo il valore massimo $M$ , e almeno in un punto $B$ il valore minimo $m$ . Se questi due punti sono entrambi agli estremi $a,\,b$ , allora, siccome $f(a)=f(b)$ , sarà $M=m$ . Essendo uguali i valori massimo e minimo della $f(x)$ , la $f(x)$ avrà in tutto l'intervallo valore costante, e quindi in qualsiasi punto $c$ interno all'intervallo stesso sarà $f'(c)=0$ .

Rimane ora a studiare l'altro caso che la funzione acquisti