Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 54

by Guido Fubini

Capitolo 8 - Metodi abbreviati di esposizione

../Paragrafo 53 ../Paragrafo 55 IncludiIntestazione 30 dicembre 2022 75% Da definire

Questo testo è completo.

Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 8 - Metodi abbreviati di esposizione

◄

Capitolo 8 - Paragrafo 53

Capitolo 8 - Paragrafo 55

►

§ 54. — Metodi abbreviati di esposizione.

In molti trattati (specialmente di scienze applicate) si scrive spesso $df$ al posto di $\Delta f$. Rigorosamente ciò è lecito, soltanto se $df=\Delta f$ cioè (§ 53, pag. 176) se la curva coincide con la sua tangente, ossia è una retta ed $f$ è quindi una funzione lineare di $x$.

Il sostituire $df$ a $\Delta f$ equivale a trascurare un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $dx$: e già abbiamo detto che in qualche studio il trascurare siffatti infinitesimi non conduce ad errori.

Il procedere in questo modo permette di esporre molti ragionamenti in modo specialmente semplice e rapido; così si può procedere senza tema d'errori, quando riguardino tali esposizioni soltanto come procedimenti abbreviati, che hanno significato logico solo quando si può dar loro quella forma precisa, a cui conducono le nostre definizioni.

Il modo più semplice di chiarire questi metodi abbreviati di locuzione sarà quello di trattare con essi alcuni degli esempi svolti ai §§ 47, 49. Sia (§ 47, pag. 158), p. es., $y=f(x)$ lo spazio percorso da un punto mobile all'istante $x$. Se ne determini la velocità $F(x)$ allo stesso istante. nell'intervallo infinitesimo $(x,x+dx)$ si può considerare come costante la velocità F(x)z/math> cosicchè lo spazio $f(x+dx)-f(x)=df$ percorso in detto intervallo sarà uguale al prodotto $F(x)dx$ della velocità $F(x)$ per il tempo $dx$ impiegato a percorrerlo; cosicchè ${\frac {df}{dx}}=F(x)$, ossia la velocità $F(x)$ vale la derivata di $f(x)$.

A chi volesse considerare questo procedimento come un ragionamento vero e proprio, si obietterebbe che due sono gli errori commessi:

$\alpha )$ quello di considerare $F(x)$ costante nell'intervallo $(x,x+dx)$;

$\beta )$ quello di porre $f(x+dx)-f(x)=df$ anzichè

$f(x+dx)-f(x)=\Delta f$;

ossia il confondere il differenziale $df$ con l'incremento $\Delta f$.

Il ragionamento rigoroso fatto al § 47 dimostra che questi due errori si compensano, almeno nel caso che $F(x)$ sa funzione continua. Si noti che considerare $F(x)$ come costante, o supporre $\Delta f=df$ equivale a scambiare la curva $y=f(x)$ con la sua tangente nel punto $x$; cosicchè in questo precede sia è scambiata due volte la curva con la sua tangente: ciò che rende intuitivo il perchè i due errori si siano compensati.

Es. Sia $A(x)$ l'area del rettanglo racchiuso dalla curva

$y=f(x)[f(x)\geq =]$.

dell'ordinata di ascissa $a$, dall'ordinata variabile di ascissa $x$ e dall'asse delle $x$.

Si voglia trovare $A'(x)={\frac {dA}{dx}}$.

Nell'intervallo infinitesimo $(x,x+dx)$ la $f(x)$ si può considerare come costante; cosiccè l'incremento

$dA=A(x+dx)-A(x)$,

che riceve l'area $A$ nel passare dall'ordinata di ascissa $x$ all'rdinata di ascissa $x+dx$,si può considerare come un rettangolo di base $dx$ ed altezza $f(x)$.È quindi

$dA=f(x)dx,A'(x)={\frac {dA}{dx}}=f(x)$.

Valgono anche per questo esempio osservazioni analoghe a quelle fatte per il precedente.