Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 53

by Guido Fubini

Capitolo 8 - Differenziali

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 53. — Differenziali.

$\alpha$ Poichè $f'(x)=\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$, si avrà, posto ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-f(x)=\epsilon$, che $\lim _{h=0}\epsilon =0$. Cioè $\epsilon$ è infinitesimo per $h=0$. La $\epsilon$ è stata definita per tutti i valori di $h\not =0$ (perchè $h$ figura al denominatore delle precedenti formole)¹. Noi converremo di porre $\epsilon =0$ quando $h=0$. E la $\epsilon$ resterà così definita per ogni valore possibile di $h$. Si ha per definizione

$\Delta f=f(x+h)-f(x)$; $\Delta x=h$; $\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$.

Donde $\Delta f={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\Delta x=[f'(x)+\epsilon ]\Delta x=\Delta xf'(x)+\epsilon \Delta x$.

E, posto $\epsilon \Delta x=\alpha$, si ha

$\Delta f=f'(x)\Delta x+\alpha$ (1)

dove $\alpha$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad $h$, perchè $\lim _{h=0}{\frac {\alpha }{h}}=\lim _{h=0}{\frac {\epsilon \Delta x}{h}}=\lim _{h=0}\epsilon =0$. Invece $f'(x)\Delta x$ (se $f'(x)\not =0$), è un infinitesimo dello stesso ordine $h$.

Allora si potrà dire, per l'uguaglianza (1), che l'incremento $\Delta f$ ricevuto dalla funzione $f(x)$ è uguale al prodotto della derivata della funzione $f(x)$ per l'incremento $\Delta x$ della variabile, più un infinitesimo $\alpha$ di ordine superiore (rispetto ad $h=\Delta x$).

La prima parte del secondo membro della (1), cioè $f'(x)\Delta x$ si suoce indicare col simboldo $df$ e si chiama il differenziale della funzione $f(x)$; cioè il differenziale di una funzione $f(x)$ è uguale alla derivata della funzione moltiplicata per l'incremento della variabile.

Il differenziale dipende dunque non solo dalla $x$, ma anche dall'incremento $h=\Delta x$ della variabile $x$ e, se $f'(x)\not =0$ è un infinitesimo dello stesso ordine di $h$

La (1), che può anche scriversi $\Delta f=df+\alpha$, sdoppia $\Delta f$ nella somma $df$ e di $\alpha$: i quali (se $f'\not =0$), sono rispettivamente di ordine uguale e superiore a $|deltax$ Essa vale anche per $\Delta x=0$, poichè per $\Delta x=0$ è $\alpha =\epsilon \Delta x=0$ β) Vediamo che cosa rappresenta geometricamente il differenziale. Sia data una curva di equazione

$y=f(x)$.

Siano $NM,QS$ le ordinate dei punti $M$ e $S$ della curva che corrispondono ai valori $x$ ed $x+h$ della variabile (fig. 20).

Fig. 20.

Sia $P$ il punto di incontro della $SQ$ con la parallela per $M$ dell'asse delle $x$; sia poi $R$ il punto di incontro della $SQ$ con la tangente alla curva nel punto $M$, ed $\omega$ sia l'angolo formato da questa tangente con la $MP$, ossia con l'asse delle $x$. L'incremento $h$ che riceve la variabile indipendente $x$ sarà

Abbiamo visto che la derivata $f'(x)$ della funzione $f(x)$ è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva, ossia che

$f'(x)={\text{tang}}\omega$;

ma il differenziale è

$df=f'(x)\Delta x$;

quindi

$df=\Delta x{\text{tang}}\omega$.

Ora $\Delta x$ misura il cateto $MP$ del triangolo rettangolo $MPR$, quindi $df=\Delta x{\text{tang}}\omega =PR$. Dunque il differenziale è rappresentato dal segmento PR compreso tra la parallela condotta per il punto M dell'asse delle x e la tangente alla curva nel punto M.

L'incremento $\Delta f$ che riceve la funzione quando alla variabile $x$ si dà l'incremento $h$, sarà dato dalla differenza tra il valore della funzione nel punto $x+h$, valore che nella figura è rappresentato dal segmento $QS$ e il valore della funzione nel punto $x$ (valore che nella figura è rappresentato dal segmento $NM$); dunque

$\Delta f=QS-NM=QS-QP=PS$;

cioè l'incremento $\Delta f$ che riceve la funzione f(x), quando si dà alla variabile x l'incremento Δx, è rappresentato dal segmento PS compreso tra la parallela all'asse delle x xondotta per il punto M di ascissa x e la curva y=f(x)

Se $f(x)=x$, la derivata di $x$ è 1; e quindi

$df=dx=1.\Delta x=\Delta x$,

cioè il differenziale di x è uguale all'incremento di x. Si potrà così scrivere in generale

$df=f'(x)dx$,

cioè il differenziale della funzione f(x) è uguale alla sua derivata moltiplicata per il differenziale della variabile indipendente x.

Se ne deduce                     $f'(x)={\frac {df}{dx}}$,

cioè la derivata di una funzione $f(x)$ è uguale al rapporto tra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente x.

Note

1. Supporto naturalmente in più che $x+h$ appartenga all'intervallo, ove esista la $f(x)$.