Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 53

Capitolo 8 - Differenziali

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§ 53. — Differenziali.


Poichè , si avrà, posto , che . Cioè è infinitesimo per . La è stata definita per tutti i valori di (perchè figura al denominatore delle precedenti formole)1. Noi converremo di porre quando . E la resterà così definita per ogni valore possibile di . Si ha per definizione

; ; .


Donde .

E, posto , si ha

(1)


dove è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad , perchè . Invece (se ), è un infinitesimo dello stesso ordine .

Allora si potrà dire, per l'uguaglianza (1), che l'incremento ricevuto dalla funzione è uguale al prodotto della derivata della funzione per l'incremento della variabile, più un infinitesimo di ordine superiore (rispetto ad ).

La prima parte del secondo membro della (1), cioè si suoce indicare col simboldo e si chiama il differenziale della funzione ; cioè il differenziale di una funzione è uguale alla derivata della funzione moltiplicata per l'incremento della variabile.

Il differenziale dipende dunque non solo dalla , ma anche dall'incremento della variabile e, se è un infinitesimo dello stesso ordine di

La (1), che può anche scriversi , sdoppia nella somma e di : i quali (se ), sono rispettivamente di ordine uguale e superiore a Essa vale anche per , poichè per è [p. 176 modifica]β) Vediamo che cosa rappresenta geometricamente il differenziale. Sia data una curva di equazione

.


Siano le ordinate dei punti e della curva che corrispondono ai valori ed della variabile (fig. 20).


Fig. 20.

Sia il punto di incontro della con la parallela per dell'asse delle ; sia poi il punto di incontro della con la tangente alla curva nel punto , ed sia l'angolo formato da questa tangente con la , ossia con l'asse delle . L'incremento che riceve la variabile indipendente sarà


Abbiamo visto che la derivata della funzione è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva, ossia che

;

ma il differenziale è

;

quindi

.


Ora misura il cateto del triangolo rettangolo , quindi . Dunque il differenziale è rappresentato dal segmento PR compreso tra la parallela condotta per il punto M dell'asse delle x e la tangente alla curva nel punto M.

L'incremento che riceve la funzione quando alla variabile si dà l'incremento , sarà dato dalla differenza tra il valore della funzione nel punto , valore che nella figura è rappresentato dal segmento e il valore della funzione nel punto (valore che nella figura è rappresentato dal segmento ); dunque

;


cioè l'incremento che riceve la funzione f(x), quando si dà alla variabile x l'incremento Δx, è rappresentato dal segmento PS compreso tra la parallela all'asse delle x xondotta per il punto M di ascissa x e la curva y=f(x)

Se , la derivata di è 1; e quindi

,


cioè il differenziale di x è uguale all'incremento di x. [p. 177 modifica]Si potrà così scrivere in generale

,


cioè il differenziale della funzione f(x) è uguale alla sua derivata moltiplicata per il differenziale della variabile indipendente x.

Se ne deduce                     ,

cioè la derivata di una funzione è uguale al rapporto tra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente x.

Note

  1. Supporto naturalmente in più che appartenga all'intervallo, ove esista la .