Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 55

Questo testo è completo.

Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 8 - Derivazione di una somma

Informazioni sulla fonte del testo

◄

Capitolo 8 - Paragrafo 54

Capitolo 8 - Paragrafo 56

►

[p. 178 modifica]

§ 55. — Derivazione di una somma.

$\alpha )$ La funzione $f(x)$ sia uguale alla somma

$\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(x)+\cdots +\varphi _{n}(x)$

delle $n$ funzioni $\varphi _{1}$ che supponiamo derivabili. [p. 179 modifica]Cerchiamo la derivata della $f(x)$ . Supporremo $n=2$ . La dimostrazione vale però affatto analoga in generale.

Si ha per definizione

$f'(x)=\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h=0}{\begin{Bmatrix}{\frac {|\varphi _{1}(x+h)+\varphi _{2}(h+h)|-\varphi (x)+\varphi _{2}(x)|}{h}}\end{Bmatrix}}=$

$=\lim _{h=0}{\begin{Bmatrix}{\frac {\varphi (x+h)-\varphi _{1}(x)}{h}}+{\frac {\varphi _{2}(x+h)-\varphi _{2}(x)}{h}}\end{Bmatrix}}=$

$=\lim _{h=0}{\frac {\varphi _{1}(x+h)-\varphi _{1}(x)}{h}}+\lim _{h=0}{\frac {\varphi _{2}(x+h)-\varphi _{2}(x)}{h}}=\varphi '_{1}(x)+\varphi '_{2}(x)$ .

Donde:

La derivata della somma di due o più funzioni, che posseggono derivata (finita), eiste ed è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni.

Questo teorema vale anche per funzioni complesse (cfr. § 50).

β) Oss. 1^a. Un caso particolare del precedente teorema è evidentemente il seguente:

Le derivate di $y=\varphi (x)$ e di $y=\varphi (x)+{\text{cost.}}$ sono uguali (poichè la derivata di $y={\text{cost.}}$ è nulla) (naturalmente, se esistono).

Si propone al lettore di illustrare categoricamente questo teorema, osservando che dalla curva $y=f(x)$ si passa alla $y=f(x)+{\text{cost.}}$ mediante una traslazione.

Nel caso che $y$ sia lo spazio percorso da un punto mobile all'istante $x$ , quale significato assume quest'osservazione?

Oss. 2^a. Un teorema affatto analogo al precedente vale per la differenza di due funzioni; in particolare la derivata di $-f(x)$ è $-f'(x)$ .