Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 52

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 8 - Infinitesimi e infiniti

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[p. 171 modifica]

§ 52. — Infinitesimi e infiniti.

α) Se $\alpha$ ed $h$ sono numeri piccoli, allora secondo il rapporto ${\frac {\alpha }{h}}$ :

1° è piccolissimo;

2° è estremamente grande;

3° non è nè piccolissimo, nè grandissmo;

noi diciamo rispettivamente che:

1° α è di un ordine di piccolezza maggiore di quello di $h$ ;

2° α è di un ordine di piccolezza minore di quello di $h$ ;

3° α ed $h$ sono di uno stesso ordine di piccolezza.

Così, p. es., per chi si occupa di lunghezze di qualche chilometro, tanto un millimetro, che la lunghezza d'onda della luce rossa, sono lunghezze piccole. La seconda è però molto più piccola della prima, e perciò diciamo che essa è di un ordine di piccolezza maggiore.

Così, p. es., quando diciamo che le lunghezze d'onda di un raggio verde e di un raggio azzurro sono dello stesso ordine di piccolezza, vogliamo dire che il loro rapporto non è nè un numero enorme, nè un numero piccolissimo.

Tutte queste locuzioni hanno naturalmente un significato poco preciso, perchè poco preciso è il significato delle parole; “piccolissimo” , “grandissimo”. Noi, però, partendo dalle idee intuitive contenute in dette frase, poniamo le seguenti definizioni precise. [p. 172 modifica]Sia $h$ un infinitesimo, cioè una variabile che tenda a zero, e supponiamo che non assuma il valore zero¹.

Sia poi $\beta$ un altro infinitesimo che tenda a zero con $h$ . Consideriamo il rapporto ${\frac {\beta }{h}}$ e poi il

$\lim _{h=0}{\frac {\beta }{h}}$ ,

se $h$ è la variabile indipendente, e $\beta$ funzione di $h$ .

Se invece $x$ fosse la variabile indipendente, e $\beta$ ed $\alpha =x$ fossero funzioni della $x$ infinitesime per $x=b$ , alla considerazione di questo limite si sostituirebbe quella del

$\lim _{x=b}{\frac {\beta }{h}}=\lim _{x=b}{\frac {\beta }{\alpha }}$ .

Secondo che questo limite

non esiste;
esiste ed è una quantità finita e diversa da zero;
esiste ed è zero;
esiste ed è infinito;

noi diremo rispettivamente che:

i due infinitesimi β e h non sono paragonabili;
β ed h sono infinitesimi dello stesso ordine;
β è un infinitesimo d'ordine superiore ad h;
β è un infinitesimo d'ordine inferiore ad h.

Esempi

h e $\beta =h{\text{sen}}{\frac {1}{h}}$ sono (per $h=0$ ) infinitesimi non paragonabili, perchè $\lim _{h=0}{\frac {\beta }{h}}=\lim _{h=0}{\text{sen}}{\frac {1}{h}}$ non esiste, poichè, mentre h tende a zero, ${\text{sen}}{\frac {1}{h}}$ oscilla sempre da $+1$ a $-1$ e da $-1$ a $+1$ . [p. 173 modifica]2° h e $\beta ={\text{Sen}}h$ sono per $h=0$ infinitesimi dello stesso ordine, perchè $\lim _{h=0}{\frac {|beta}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}h}{h}}=1$ ;

3° Se $\beta =h^{2}$ , è $lim_{h=0}{\frac {\beta }{h}}=\lim _{h=0}h=0$ ; cosicchè (per $h=0$ ) β è un infinitesimo d'ordine superiore ad h;

4° Se $\beta ={\sqrt {h}},\beta <math>per<math>h=+0$ infinitesimo d'ordine inferiore ad h, perchè $\lim _{h=+0}{\frac {\beta }{h}}=\lim _{h=0}{\frac {\sqrt {h}}{h}}=\lim _{h=+0}{\frac {1}{\sqrt {h}}}=\infty$ .

Evidentemente se α è un infinitesimo d'ordine superiore a β, e β è di ordine superiore a γ, allora α è di ordine superiore a γ, perchè

$\lim {\frac {\alpha }{\gamma }}=\lim {\frac {\alpha }{\beta }}\lim {\frac {\beta }{\gamma }}=0$ .

Se esiste un numero positivo k tale che il rapporto ${\frac {a}{h^{k}}}$ abbia un limite finito e diverso da zero, allora α è infinitesimo dello stesso ordine di $h^{k}$ . Si suol dire allora che α è un infinitesimo di ordine k (rispetto ad h). Per esempio, ${\text{sen}}h$ è un infinitesimo di 1° ordine per l'es. 2°; $h^{k}(k>0)$ è un infinitesimo i ordine k; $1-\cos h$ è in infinitesimo di 2° ordine, perchè:

$\lim _{h=0}{\frac {1-\cos h}{h^{2}}}=\lim _{h=0}{\frac {2{\text{sen}}^{2}{\frac {h}{2}}}{h^{2}}}={\frac {1}{2}}\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}^{2}{\frac {h}{2}}}{\left({\frac {h}{2}}\right)}}=$

$={\frac {1}{2}}\lim _{h=0}{\begin{Bmatrix}{\frac {{\text{sen}}{\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\end{Bmatrix}}^{2}={\frac {1}{2}}{\begin{Bmatrix}\lim _{h=0}{\frac {{\text{Sen}}{\frac {h}{2}}}{\frac {1}{2}}}\end{Bmatrix}}^{2}={\frac {1}{2}}\cdot 1={\frac {1}{2}}$ .

Quest'ultima definizione non è contraddittoria con le precedenti.

β) Considerazioni affatto simili valgono per gli infiniti, ossia per le quantità che tendono a $\infty$ .

Se α, β sono quantità che tendono contemporaneamente a $\infty$ , si dirà che:

α e β non sono paragonabili;

α e β sono infiniti dello stesso ordine; [p. 174 modifica]3° $\alpha$ è infinito di ordine superiore a β;

4° α è infinito di ordine inferiore a β secondo che:

1°) $\lim {\frac {\alpha }{\beta }}$ non esiste,

2°) $\lim {\frac {\alpha }{\beta }}$ è finito e diverso da zero,

3°) $\lim {\frac {\alpha }{\beta }}=\infty$ ,

4°) $\lim {\frac {\alpha }{\beta }}=0$ .

Le considerazioni precedenti hanno un grande interesse, perchè in molti problemi è lecito trascurare gli infinitesimi di ordine superiore. Eccone qui un primo esempio. Un altro esempio assai più importante sarà dato più avanti.

Se α, β, γ, δ sono funzioni della x infinitesime per x=b, se γ, δ sono rispettivamente di ordine superiore ad α e β, allora per trovare il

$\lim _{a=b}{\frac {\alpha +\gamma }{\beta +\delta }}$

si possono trascurare questi infinitesimi, γ, δ di ordine superiore, ossia

$\lim {\frac {\alpha +\gamma }{\beta +\delta }}=\lim {\frac {\alpha }{\beta }}$ . ²

Infatti

${\frac {\alpha +\gamma }{\beta +\delta }}={\frac {\alpha }{\beta }}{\frac {1+{\frac {\gamma }{\alpha }}}{1+{\frac {\delta }{\beta }}}}$ .

Poichè $\lim {\frac {\gamma }{\alpha }}=\lim {\frac {\delta }{\beta }}=0$ è $\lim _{x=b}{\frac {1+{\frac {\gamma }{\alpha }}}{1+{\frac {\delta }{\beta }}}}=1$ c.d.d.

Note

↑ Può darsi che $h$ sia la variabile indipendente, od anche che $h$ sia funzione di un'altra variabile $x$ , che tenda a zero, p. es., per $x=b$ . In questo secondo caso non potrebbe però essere, p. es., $h=(x-b){\text{sen}}{\frac {1}{x-b}}$ , perchè $h$ assumerebbe infinite volte il valore zero, mentre $x$ si avvicina a $b$ (cioè in ogni intorno del punto $x=b$ ).
↑ Si potrebbe anche supporre che γ e δ fossero entrambi di ordine superiore rispetto ad α oppure a β. Basta osservare che ${\frac {\alpha +\gamma }{\beta +\delta }}={\frac {{\frac {\alpha }{\beta }}+{\frac {\gamma }{\beta }}}{1+{\frac {\delta }{\beta }}}}={\frac {1+{\frac {\gamma }{\alpha }}}{{\frac {\beta }{\alpha }}+{\frac {\delta }{\alpha }}}}$ , ecc.

[1] Può darsi che $h$ sia la variabile indipendente, od anche che $h$ sia funzione di un'altra variabile $x$ , che tenda a zero, p. es., per $x=b$ . In questo secondo caso non potrebbe però essere, p. es., $h=(x-b){\text{sen}}{\frac {1}{x-b}}$ , perchè $h$ assumerebbe infinite volte il valore zero, mentre $x$ si avvicina a $b$ (cioè in ogni intorno del punto $x=b$ ).

[2] Si potrebbe anche supporre che γ e δ fossero entrambi di ordine superiore rispetto ad α oppure a β. Basta osservare che ${\frac {\alpha +\gamma }{\beta +\delta }}={\frac {{\frac {\alpha }{\beta }}+{\frac {\gamma }{\beta }}}{1+{\frac {\delta }{\beta }}}}={\frac {1+{\frac {\gamma }{\alpha }}}{{\frac {\beta }{\alpha }}+{\frac {\delta }{\alpha }}}}$ , ecc.

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