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160 CAPITOLO VII — § 48

Noi, assumendo come punto di partenza i fatti intuitivi ora accennati, porremo la definizione seguente:

Tangente a una curva nel punto A è la posizione limite (se questa posizione esiste) si una secante A B congiungente il punto A con un altro punto B della curva, quando il punto B tende ad A1.


Fig. 15.

Bisogna dimostrare che questa definizione coincide nel caso del cerchio con la definizione data dalla geometria elementare.

Sia dato un punto su un cerchio di centro . Preso un altro punto su tale cerchio, tiriamo la retta ; essa sarà la perpendicolare tirata da alla bisettrice dell'angolo (fig. 15).

Facciamo avvicinare il punto al punto : allora l'angolo tende a zero, e la bisettrice di questo angolo tende al raggio . La retta , che è sempre perpendicolare alla bisettrice , si avvicinerà alla perpendicolare alla retta nel punto , e si ha così la posizione limite della retta , ossia la tangente al cerchio nel punto , nel senso ora definito, è la perpendicolare al raggio del cerchio che ha l'estremo in quel punto , e coincide quindi con la retta che in geometria elementare si chiama “tangente al cerchio nel punto ”.

Fig. 16.

Sia la curva data dall'equazione . Il coefficiente angolare della retta è la tangente dell'angolo che la direzione positiva dell'asse delle fa con un raggio di essa, p. es., col raggio . Sia parallela all'asse delle . Dal triangolo (fig. 16) si ha che questo coefficiente angolare vale in grandezza e segno


dove e , ed sono rispettivamente le ordinate e le ascisse dei punti .

  1. Qui si tratta di una facile estensione del concetto di limite. Noi diciamo che la retta tende ad una posizione , se l'angolo di ed tende a zero. Dicendo poi che si avvicina ad , vogliamo dire che, se la curva è rappresentata da una equazione , noi cerchiamo la posizione limite di per (essendo le ascisse di e di ).