Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 40

by Guido Fubini

Capitolo 6 - Proprietà fondamentali delle funzioni continue

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 6 - Proprietà fondamentali delle funzioni continue

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§ 40. — Proprietà fondamentali delle funzioni continue.

α) I teoremi di cui ci occuperemo nel seguente paragrafo, possono sembrare intuitivi; e del resto per molto tempo furono ammessi come evidenti. Una critica accurata dimostrò però la necessità di una precisa dimostrazione; chi poco si occupi di questioni teoriche può forse, appena abbia compreso l'enunciato di tali teoremi, non approfondire lo studio delle dimostrazioni; le quali però costituiscono un utile esempio di deduzione logica.

Il primo dei teoremi di cui qui ci occuperemo, risponde alle seguenti domande: Tra i valori che una funzione continua $f(x)$ assume un intervallo finito (a, b), estremi inclusi esiste un valore M massimo [che non sia minore di alcun altro valore di $f(x)$ in (a, b)]? esiste un valore minimo m?

A queste domande si deve rispondere affermativamente. Ciò ammesso, si deve ancora domandare: Se μ è un numero compreso tra m ed M, vi è qualche valore della nostra funzione, che sia uguale a μ? E anche a questa domanda si deve rispondere affermativamente.

Nè i teoremi qui accennati si debbono ritenere come intuitivi a priori. I valori di una funzione continua $f(x)$ in (a, b) sono (se la $f(x)\not ={\text{cost.}}$) in numero infinito. Ora, se abbiamo infiniti numeri, può darsi benissimo, come sappiamo, che nessuno di essi sia un numero più grande di tutti gli altri, cioè che il limite superiore non suna un massimo. Il nostro teorema ci assicura che questo non può avvenire per i valori assunti da una funzione continua; cosicchè, p. es., se ne dedurrà in particolare che una funzione $f(x)$ cotinua in (a, b) (estremi inclusi) è limitata; che cioè si può trovare una costante (positiva) H, che $f(x)$ non supera mai in valore assoluto in tale intervallo. Basta, p. es., porre H uguale al più grande dei due numeri |M|, |m|.

la risposta affermativa all'ultima domanda può essere giustificata intuitivamente. Un disegnatore di curve e di diagrammi troverebbe forse superfluo il dimostrare che, muovendoci su una curva continua $y=f(x)$, la distanza y dall'asse x non possa passare da M a m senza riceve tutti i valori intermedi. Ma, appena si ricodi che esistono curve continue $y=f(x)$ che in (a, b) fanno infinite oscillazioni, e non sono quindi disegnabili, si vedrà quanto sia insufficiente per nostri studi una intuizione, che assume a punto di partenza i diagrammi e le curve continue disegnabili.

ecco qui gli enunciati dei teoremi in discorso:

Sia y una funzione continua f(x) nell'intervallo finito (a, b), estremi inclusi. (Sia, p. es. a<b). Io dico che:

1° Il limite superiore M dei valori assunti da f(x) nell'intervallo (a, b) è un massimo. Cioè esiste nell'intervallo (a, b) almeno un punto ove la funzione riceve il massimo valore M, ossia un valore M non minore dei valori assunti negli altri punti dello stesso intervallo.

2° Il limite inferiore m dei valori assunti da f(x) in (a, b) è un minimo; cioè esiste nell'intervallo (a, b) almeno un punto, ove f(x) riceve il minimo valore m, ossia un valore m non maggiore di quello assunto negli altri punti dello stesso intervallo (teoremi di Weierstrass).

3° Se λ è un numero intermedio tra m ed M (m<λ<M), esiste almeno un punto di (a, b), in cui f(x) assume il valore λ¹.

La differenza M — m si dice l'oscillazione D di f(x) in (a, b). Essa p generalmente positiva, ed è nulla soltanto se $M=m$, ossia se il più grande ed il più piccolo valore di $f(x)$ coincidono, ossia se $f(x)$ è costante nell'intervallo (a, b).

Ricordiamo anche il seguente importante teorema di Heine, a cui non ricorreremo mai in questo libro (e che dimostreremo anche con altri e più semplici metodi in casi particolari).

4° Dato un numero (positivo) ε si può dividere l'intervallo (a, b) in un numero finito di intervalli parziali j, in ciascuno dei quali l'oscillazione di f(x) è uguale o minore di ε.

Dimostriamo ora i primi tre dei precedenti teoremi. E per brevità indichiamo, se $\alpha ,\beta$ sono due punti dell'intervallo (a, b) con $l(\alpha ,\beta )$ e con $L(\alpha ,\beta )$ i limiti inferiore e superiore dei valori asunti da $f(x)$ nell'intervallo $(\alpha ,\beta )$. È $M=L(a,b)$ ed è $m=l(\alpha ,\beta )$. Inostri teoremi saranno provati, quando sia dimostrato che, scelto comunque un numero $\lambda$ tale che $m\leq \lambda \leq M$ (non escluso $\lambda =m,\lambda =M)$ esiste un punto $c$ soddisfacente alla $f(c)=\lambda$. Se già $f(a)=\lambda$, il teorema è provato. Sia dunque $f(a)<\lambda$ (in modo analogo si studia il caso di $f(a)>\lambda$). Sia $c$ il limite superiore dei punti $x$ dell'intervallo (a, b) tali che $L(a,x)\lambda$. Sarà $a<c\leq b$. Preso un numero τ arbitrario positivo, esistono (poichè $f(x)$ è continua) due numeri $\tau _{1},\tau _{2}$ non negativi tali che i valori assunti da $f(x)$ nell'intervallo $8c-\tau _{1},c+\tau _{2})$ e quindi anche $L(c-\tau _{1},c+\tau _{2})$ sono compresi tra $f(c)-\tau$ ed $f(c)+\tau$. E anzi $\tau _{1}>0$, ed è pure $\tau _{2}\geq 0$, essendo $\tau _{2}=0$ soltanto se $c=b$. Per la stessa definizione di c è

$L(a,c-\tau _{1})<\lambda$

$L(a,c+\tau _{2})\geq \lambda$.²

Ora $L(a,c+\tau _{2})$ è uguale al massimo dei due numeri $L(a,c-\sigma _{1})$, e $L(c-\sigma _{1},c+\sigma _{2})$ corrispondenti ai due intervalli parzial in cui si può dividere l'intervallo $(a,c+\tau _{2})$. E non potendo essere per le precedenti disuguaglianze $L(a,c-\tau _{1})\geq L(a,c+\tau _{2})$ sarò $L(c-\tau _{1},c+\tau _{2})=L(a,c+\sigma _{2})$. Dunque $La,c+\sigma _{2})\geq \lambda$ è compreso tra $f(c)+\epsilon$ ed $f(c)-\epsilon$. Cosicchè $\lambda \leq f(c)+\epsilon$, qualunque sia $\tau$. Dunque $\lambda \leq f(c)$. D'altra parte $f(c-\tau _{1})<\lambda$. Quindi $f(c)=\lim _{\tau _{1}=0}f(c-\tau _{1})\leq \lambda$. Unendo queste disuguaglianze si deduce che $f(c)=\lambda$, così come si doveva dimostrare.

Dimostrazione del 4° teorema e osservazioni critiche.

Supponiamo che il teorema non sia vero; che cioè l'intervallo (a, b) non sia divisibile in un numero finito di tali intervalli $j$. Se $\beta$ è un punto di (a, b) così vicino ad a che in ($a,\beta$) l'oscillazione di $f(x)$ sia minore di ε, l'intervallo ($a,\beta$) è divisibile in un umero finito di intervalli $j$, perchè esso stesso ed ogni sua parte è un intervallino $j$. [Che un tale punto $\beta$ esiste è conseguenza del fatto che $f(x)$ è continua per $x=a$. Se $\beta$ è un punto qualsiasi di 8$a,b$) tale che ($a,\beta$) sia divisbile nel modo voluto, altrettanto avverrà a fortiori di ogni intervallo ($a,\beta '$), se $a<\beta '<\beta$. E quindi, se$\daleth$ è un punto di (a, b) tale che $a,\daleth$) non sia divisibile in un numero finito di intervalli $j$, allora neanche ($a,\daleth '$) sarà divisibile in tal modo se $\beta \geq \daleth >\daleth$ Dividiamo i punti di (a, b), in due classi: ponendo in una classe i punti $\beta$ tali che ($a,\beta$) sia divisibile nel modo voluto, e nell'altra classe i punti di $\daleth$ tali che ($a,\daleth$) non sia così divisibile. Sia c il punto di divisione di tali due classi ($c\leq b$). Costruiamo se $c<b$ un intorno ($c-\delta ,c+\delta$) del punto c, in cui le oscillazioni di $f(x)$ non superi $\epsilon$ se fosse $c=b$ ci limiteremo ad un intorno ($c-\delta ,c$). Il punto $c-\delta$ sarà un punto β, e perciò l'intervallo ($a,c-\delta$) oppure ($c-\delta ,c$) secondo che $c<b$ oppure $c=b$ vediamo che anche l'intervallo ($a,c+\delta$) se $c<b$ oppure l'intervallo (a, c) se $c=b$ è divisibile nel modo voluto. Il primo caso è assurdo perchè $c+\delta$ è un punto $\daleth$; il secondo contrasta con l'ipotesi iniziale. Dunque il teorema è dimostrato (per assurdo).

Sia δ la minima lunghezza di uno di questi intervalli parziali $j$. Se c è un punto qualsiasi di (a, b), quella parte del segmento ($c-\delta ,c+\delta$) che è interna ad (a, b) sarà uguale o minore della somma dei tre intervallini $j$ consecutivi. In tale intorno di c dunque l'oscillazione $f(x)$ sarà minore di 3 ε (il quale è un numero prefissato ed arbitrio). Che per ogni punto c di (a, b) esiste un tale numero δ è conseguenza della stessa definizione di continuità; ora abbiamo in più dimostrato che si può scegliere un numero δ, che convenga a tutti i punti c dell'intervallo (a, b). Si poteva aspettare che al variare di c in (a, b) si fosse costretti a far variare i δ in modo che avessero lo zero per limite inferiore, e che perciò nessun numero δ andasse bene contemporaneamente per tutti i punti c. Il fatto che si può scegliere uno stesso numero δ per tutti i punti c si chiama anche il teorema della continuità uniforme e si enuncia dicendo che una funzione continua in un intervallo finito, estremi inclusi, è uniformemente continua. I teoremi di Weirstrass si estendono alle funzioni discontinue col seguente enunciato, che mi accontenterò di citare.

Se $f(x)$ è una funzione definita nell'intervallo (a, b), estremi inclusi, esiste almeno un punto di questo intervallo tale che in ogni suo intorno la funzione assuma valori, il cui limite superiore coincida col limite superiore dei valori che $f(x)$ ha in (a, b).

Osserv. Se $f(x)$ è una funzione qualsiasi definita in un intorno del punto a, potremo considerare il massimo limite e il minimo limite (§ 32, osserv. critiva a pag. 107) per $w=a+$ e quelli per $x=a-$. Tutti questi limiti coincidono con $f(a)$ se $f(x)$ è continua in a. Si sono studiate anche le funzioni (semicontinue) per cui $f(a)$ coincide non con tutti, ma soltanto con alcuni dei limiti precedenti; e si è in particolare studiato per esse un teorema analogo al teorema di Weirstrass.

Note

1. Questi teoremi ci dicono che i valori assunti da una funzione $y=f(x)$ continua in un intervallo finito (a, b) (estremi inclusi), riempiono tutto un segmento finito (m, M), compresi gli estremi.
2. Questa disuguaglianza vale anche quando $\tau _{2}=0$, ossia quando $c=b$. In tal caso $L(a,c+\tau _{2})=L(a,b)=M\geq \lambda$