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CAPITOLI VI - § 39-40

Ricordando la definizione di ${\text{ch}}z$ , is consideri la prima di queste formole come un'equazione in cui $e^{z}$ ; se ne trae:

$z=\pm \log {\text{tg}}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\varphi }{2}}\right)$

§ 40. — Proprietà fondamentali delle funzioni continue.

α) I teoremi di cui ci occuperemo nel seguente paragrafo, possono sembrare intuitivi; e del resto per molto tempo furono ammessi come evidenti. Una critica accurata dimostrò però la necessità di una precisa dimostrazione; chi poco si occupi di questioni teoriche può forse, appena abbia compreso l'enunciato di tali teoremi, non approfondire lo studio delle dimostrazioni; le quali però costituiscono un utile esempio di deduzione logica.

Il primo dei teoremi di cui qui ci occuperemo, risponde alle seguenti domande: Tra i valori che una funzione continua $f(x)$ assume un intervallo finito (a, b), estremi inclusi esiste un valore M massimo [che non sia minore di alcun altro valore di $f(x)$ in (a, b)]? esiste un valore minimo m?

A queste domande si deve rispondere affermativamente. Ciò ammesso, si deve ancora domandare: Se μ è un numero compreso tra m ed M, vi è qualche valore della nostra funzione, che sia uguale a μ? E anche a questa domanda si deve rispondere affermativamente.

Nè i teoremi qui accennati si debbono ritenere come intuitivi a priori. I valori di una funzione continua $f(x)$ in (a, b) sono (se la $f(x)\not ={\text{cost.}}$ ) in numero infinito. Ora, se abbiamo infiniti numeri, può darsi benissimo, come sappiamo, che nessuno di essi sia un numero più grande di tutti gli altri, cioè che il limite superiore non suna un massimo. Il nostro teorema ci assicura che questo non può avvenire per i valori assunti da una funzione continua; cosicchè, p. es., se ne dedurrà in particolare che una funzione $f(x)$ cotinua in (a, b) (estremi inclusi) è limitata; che cioè si può trovare una costante (positiva) H, che $f(x)$ non supera mai in valore assoluto in tale intervallo. Basta, p. es., porre H uguale al più grande dei due numeri |M|, |m|.

la risposta affermativa all'ultima domanda può essere giustificata intuitivamente. Un disegnatore di curve e di diagrammi troverebbe forse superfluo il dimostrare che, muovendoci su una