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capitolo xxi — § 133

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(e necessariamente ammettano anch'essere il periodo $2\pi$). Dimostriamo intanto che in tali ipotesi la (1)_bis è totalmente convergente.

Sia $M$ una costante maggiore dei valori assoluti delle $f'(x),f''(x)$. Integrando per parti, si ha per $m\geq \,1$:

$a_{m}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {{\text{sen}}\,mx}{m}}f(x)\,dx\right]_{0}^{2\pi }-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {{\text{sen}}\,mx}{m}}f'(x)\,dx=$

$=-{\frac {1}{m\pi }}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{sen}}\,mx\,f'(x)\,dx=-{\frac {1}{\pi m^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,mx\,f''(x)\,dx$,

donde:

$|a_{m}|\leq {\frac {1}{\pi m^{3}}}\int _{0}^{2\pi }|{\text{cos}}\,mx\,f''(x)|\,dx\leq {\frac {1}{\pi m^{2}}}\int _{0}^{2\pi }|f''(x)|dx\leq \,{\frac {M}{\pi m^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\,dx$

ossia:                              $|a_{m}|\leq 2{\frac {M}{m^{2}}}$          ($m>1$).

Similmente $|b_{m}|\leq 2{\frac {M}{m^{2}}}$; e quindi per $n\geq 2$

$|a_{n}\,{\text{cos}}\,nx+b_{n}\,{\text{sen}}\,nx|\leq {\frac {4\,M}{n^{2}}}<{\frac {4\,M}{n(n-1)}}=$

$=4\,M\,\left\{{\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right\}$.

La serie a termini positivi e costanti $\sum _{2}^{\infty }\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)$ converge, perchè la somma dei primi suoi $k$ termini vale $1-{\frac {1}{k}}$, che tende ad $1$ per $k=\infty$; quindi sia la $\sum _{2}^{\infty }(a_{n}\,{\text{cos}}\,nx+b_{n}\,{\text{sen}}\,nx)$, che òa (1)_bis sono totalmente convergenti.

Sia $\varphi (x)$ uguale al secondo membro di (1)_bis. Gli integrali di $\varphi (x),\varphi (x)\,{\text{cos}}\,mx,\varphi (x)\,{\text{sen}}\,mx$ si ottengono dalla (1)_bis moltiplicandola rispettivamente per $1,{\text{sen}}\,mx,\,{\text{cos}}\,mx$, e integrando poi termine a termine, perchè la (1)_bis è convergente totalmente. Tali integrali sono perciò uguali a quelli di

$f(x),f(x)\,{\text{cos}}\,mx,f(x)\,{\text{sen}}\,mx$.

Cosicchè, posto $\psi (x)=f(x)-\varphi (x)$, sarà:

$\psi (x)dx=0$; $\int _{0}^{2\pi }\psi (x)\,{\text{cos}}\,mx\,dx=0$; $\int _{0}^{2\pi }\psi (x)\,{\text{sen}}\,mx\,dx=0$.