Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 115

Capitolo 18 - Un lemma

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§ 115. — Un lemma.

Siano funzioni della tali che valga la:

(1)          y=k_1z_1+k_2z_+.....+k_nz_nz</math>

e valgono pure le:

Oss. Le (2) sarebbero conseguenza di (1), se le fossero costanti, cosa che però in generale non sarà.

Le (1), (2) formano un sistema di equazioni lineari nelle incognite . La regola di Leibnitz-Cramer ci assicura [p. 383 modifica]della loro risolubilità in un modo e in uno solo, se il determinante del coefficiente delle incognite

è differente da zero. Tale determinante si chiama il Wronskiano delle . Possiamo dunque determinare le soddisfacenti ad (1), (2) se il Wronskiano delle è differente da zero.

Le così determinate, se è arbitraria, non saranno generalmente costanti, ma soddisferanno ad alcune equazioni, le quali dicono che la definita da 81) soddisfa a (2).

Derivando (1) e confrontando con la prima delle (2) si trova che

.

Sarà pertanto

(3)               .

Nello stesso modo, confrontando la derivata di ciascuna delle equazioni (2) (l'ultima esclusa) con la seguente equazione (2), si trova

Viceversa, se le soddisfano alle (3) e (3)bis la definita da (1) soddisfa alle (2). Derivando l'ultima dalla (2) si ha:

.

Indicando con funzioni arbitrarie della , da questa equazione, dalle (1) e (2) si deduce immediatamente che:

.

[p. 384 modifica]Un caso particolare notevole è il seguente: Se l'equazione:

,

è soddisfatta dalle funzioni a Wronskiano diverso sa zero, allora per ogni funzione derivabile volte si possono trovare delle funzioni di che soddisfano alle (1), (2). Le loro derivate soddisferanno alle (3), (3)bis e alla 84), che nella nostra ipotesi diventa semplicemente

(4)bis

Se le soddisfano alle (3), (3)bis, la definita da (1) soddisfa naturalmente anche alle (2) e (4).