Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 115

by Guido Fubini

Capitolo 18 - Un lemma

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 115. — Un lemma.

Siano $y,z_{1},z_{2},.....z_{n}n+1$ funzioni della $x$ tali che valga la:

(1)          y=k_1z_1+k_2z_+.....+k_nz_nz</math>

e valgono pure le:

$(2){\begin{cases}y'&=k_{1}z'_{1}&+k_{2}z'_{2}&+.....+k_{n}z'_{n}\\y'&=k_{1}z''_{1}&+k_{2}z''_{2}&+.....+k_{n}z''_{n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\y^{(n-1)}&=k_{1}z_{1}^{(n-1)}&+k_{2}z_{2}^{(n-1)}&+.....+k_{n}z_{n}^{(n-1)}\end{cases}}$

Oss. Le (2) sarebbero conseguenza di (1), se le $k$ fossero costanti, cosa che però in generale non sarà.

Le (1), (2) formano un sistema di $n$ equazioni lineari nelle $n$ incognite $k$. La regola di Leibnitz-Cramer ci assicura della loro risolubilità in un modo e in uno solo, se il determinante del coefficiente delle incognite $k$

$W={\begin{vmatrix}z_{1}&z_{2}&.....z_{n}\\z'_{1}&z'_{2}&.....z'_{n}\\z''_{1}&z''_{2}&.....z''_{n}\\\cdots &\cdots &\cdots \\z_{1}^{(n-1)}&z_{2}^{(n-1)}&.....z_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}$

è differente da zero. Tale determinante si chiama il Wronskiano delle $z$. Possiamo dunque determinare le $k$ soddisfacenti ad (1), (2) se il Wronskiano delle $z$ è differente da zero.

Le $k$ così determinate, se $y$ è arbitraria, non saranno generalmente costanti, ma soddisferanno ad alcune equazioni, le quali dicono che la $y$ definita da 81) soddisfa a (2).

Derivando (1) e confrontando con la prima delle (2) si trova che

$y'=(k_{1}z'_{1}+k_{2}z'_{2}+.....+k_{n}z'_{n})+\left(k'_{1}z_{1}+k'_{2}z_{2}+\right.$

$\left.+.....+k'_{n}z_{n}\right)=k_{1}z'_{1}+k_{2}z'_{2}+.....+k_{n}z'_{n}$.

Sarà pertanto

(3)               $k'_{1}<_{1}+k'_{2}z_{2}+.....+k'_{n}z_{n}=0$.

Nello stesso modo, confrontando la derivata di ciascuna delle equazioni (2) (l'ultima esclusa) con la seguente equazione (2), si trova

$(3)^{bis}\left\{{\begin{matrix}k'_{1}z'_{1}&+k'_{2}z'_{2}&+.....+k'_{n}z'_{n}&=0\\k'_{1}z''_{1}&+k'_{2}z''_{2}&+.....+k'_{n}z''_{n}&=0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\k'_{1}z_{1}^{(n-1)}&+k'_{2}{z_{2}}^{(n-1)}&+.....+k'_{n}z_{n}^{(n-1)}&=0\end{matrix}}\right.$

Viceversa, se le $k'$ soddisfano alle (3) e (3)_bis la $y$ definita da (1) soddisfa alle (2). Derivando l'ultima dalla (2) si ha:

$y^{(n)}=k_{1}z_{1}^{(n)}+k_{2}z_{2}^{(n)}+.....+k_{n}z_{n}^{(n)}+$

$+k'_{1}z_{1}^{(n-1)}+k'_{2}z_{2}^{(n-1)}.....+k'_{n}z_{n}^{(n-1)}$.

Indicando con $p_{1},p_{2},.....,p_{n}$ funzioni arbitrarie della $x$, da questa equazione, dalle (1) e (2) si deduce immediatamente che:

$\left.{\begin{matrix}y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}&+p_{2}y^{(n-2)}&+.....+p_{n-1}y'+p_{n}y=\\=k_{1}[z_{1}^{(n)}&+p_{1}z_{1}^{(n-1)}&+.....+p_{n-1}z_{1}+p_{n}z_{1}]+\\+k^{2}[z_{2}^{(n)}&+p_{1}z_{2}^{(n-1)}&+.....+p_{n-1}z_{2}+p_{n}z_{2}]+\\\cdots &\cdots &\cdots \\+k_{n}[z_{n}^{(n)}&+p_{1}z_{n}^{(n-1)}&+.....+p_{n-1}z_{n}+p_{n}z_{n}]+\\+k'_{1}z_{1}^{(n-1)}&+k'_{2}z_{2}^{(n-1)}&+.....+k'_{n}z_{n}^{(n-1)}.\end{matrix}}\right\}(4)$.

Un caso particolare notevole è il seguente: Se l'equazione:

$\mathrm {z^{(n)}+p_{1}z^{(n-1)}+p_{2}z^{(n-2)}+.....+p_{n-1}z'+p_{n}z=0}$,

è soddisfatta dalle $\mathrm {n}$ funzioni $\mathrm {z_{1},z_{2},.....,z_{n}}$ a Wronskiano diverso sa zero, allora per ogni funzione $\mathrm {y}$ derivabile $\mathrm {n}$ volte si possono trovare delle funzioni $\mathrm {k}$ di $\mathrm {x}$ che soddisfano alle (1), (2). Le loro derivate $\mathrm {k'}$ soddisferanno alle (3), (3)_bis e alla 84), che nella nostra ipotesi diventa semplicemente

$\left.{\begin{matrix}\mathrm {y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+p_{2}y^{(n-2)}+.....+p_{n-1}y'+p_{n}y=} \\\mathrm {=k_{1}z_{1}^{(n-1)}+k'_{2}z_{2}^{(n-1)}+.....+k_{n}z_{n}^{(n-1)}} \end{matrix}}\right\}$(4)_bis

Se le $\mathrm {k}$ soddisfano alle (3), (3)_bis, la $\mathrm {y}$ definita da (1) soddisfa naturalmente anche alle (2) e (4).