Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 114

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 18 - Primi teoremi sulle equazioni differenziali lineari (alle derivate ordinarie)

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[p. 381 modifica]

§ 114. — Primi teoremi sulle equazioni differenziali lineari
(alle derivate ordinarie).

Si dicono equazioni lineari le equazioni del tipo

$y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+p_{2}(x)y^{(n-2)}+.....+$

$+p_{n}(x)y=f(x)$ ,

(1)

(perchè di primo grado nelle $y,y',.....,y^{(n)}$ ), dove con $p_{1},p_{2},.....,p_{n},f$ indichiamo funzioni arbitrarie delle $x$ . Se $f(x)=0$ , l'equazione di dice omogenea, perchè il tal caso manca il termine $f(x)$ di grado zero nella $y$ e derivate. Noi abbiamo al § 111, $\beta$ , studiato la (1) nel caso $n=1$ , cioè nel caso di un'equazione del primo ordine. Supponiamo che $y_{1},y_{2}$ siano due integrali della (1) non omogenea. Sarà:

$y_{1}^{(n)}+p_{1}y_{1}^{(n-1)}+.....+p_{n}y_{1}=f(x)$ (2)

$y_{2}^{(n)}+p_{1}y_{2}^{(n-1)}+.....+p_{n}y_{2}=f(x)$ (3)

Sostituendo (3) da (2) si verifica tosto che $z=y_{2}-y_{y}1$ soddisfa all'equazione

$z^{(n)}+p_{1}z^{(n-1)}+.....+p_{n-1}z'+p_{n}z=0$ (4)

omogenea, che si deduce da (1) ponendovi $f(x)=0$ . Se dunque $y$ è una particolare soluzione di 81), ogni altra soluzione di (1) è del tipo $y+z$ , dove $z$ è una soluzione di (4), anche $y+z$ soddisfa ad (1). Dunque per carcare tutte e sole le soluzioni della (1) non omogenea, basta conoscerne una sola soluzione: tutte le altre si ottengono sommando con essa tutte le soluzioni della (4) omogenea.

Lagrange ha dimostrato, come vedremo meglio in seguito, che, se si sa risolvere la (4) omogenea, è sempre possibile trovare una soluzione della (1) non omogenea: e quindi, per quanto precede, che si sa risolvere pure la (1) sapendo integrare la (4).

Vediamo quindi di studiare l'equazione omogenea:

$y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+.....+p_{n}y=0$ (5)

Se $z_{1}$ è una funzione che la risolve, è facile vedere che pure $k_{1}z_{1}$ , dove $k_{1}$ è una costante affatto arbitraria, è una soluzione dell'equazione; e infatti:

$k_{1}{z_{1}}^{(n)}+p_{1}k_{1}{z_{1}}^{(n-1)}+.....+p_{n}k_{1}z_{1}=$

$=k_{1}(z_{1}^{(n)}+p_{1}{z_{1}}^{(n-1)}+.....+p_{n}z_{1})=0$ .

poichè il secondo fattore compreso tra parentesi è zero (essendo la $z_{1}$ una soluzione dell'equazione). [p. 382 modifica]Si ha ancora che, se $z_{1}$ e $z_{2}$ sono due soluzioni dell'equazione, l'equazione sarà pure soddisfatta da $z_{1}+z_{2}$ . E infatti:

$(z_{1}+z_{2})^{(n)}+p_{1}(z_{1}+z_{2})^{(n-1)}+.....+p_{n}(z_{1}+z_{2})=$

$z_{1}^{(n)}+z_{2}^{(n)}+p_{1}z_{1}^{(n-1)}+p_{1}z_{2}^{(n-1)}+.....+p_{n}z_{1}+p_{n}z_{2}=$

$=(z_{1}^{(n)}+p_{1}z_{1}^{(n-1)}+.....+p_{n}z_{1})+$

$(z_{2}^{(n)}+p_{1}z_{2}^{(n-1)}+.....+p_{n}z_{3})=0$ ,

poichè i due termini fra parentesi dell'ultima somma sono entrambi nulli, essendo $z_{1}$ e $z_{2}$ soluzioni dell'equazione. Da quanto precede possiamo concludere che, se $k_{1},k_{2},.....,k_{n}$ sono costanti tutt'affatto arbitrarie, e $z_{1},z_{2},.....,z_{n}$ sono soluzioni dell'equazione, sarà pure:

$y=k_{1}z_{1}(x)+k_{2}z_{2}(x)+.....+k_{n}z_{n}(x)$ (6)

una soluzione di (4). Poichè la (6) contiene proprio $n$ costanti arbitrarie, sorge spontanea la domanda se, al variare delle $k$ , la (6) rappresenta ogni integrale della (5), o, in altre parole, se la (6) con le $k=$ cost. sia l'integrale generale di (5).

La (6) è una sola equazione lineare in $n$ quantità $k$ . Data la $y$ , essa si può risolvere, se $n<1$ , in infiniti modi. Si domanda pertanto: Se anche $\mathrm {y}$ è una funzione che soddisfa a (5), vi è tra queste infinite soluzioni una soluzione, per cui tutte le k siano costanti?. Premettiamo alcune considerazioni di indole generale.