Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 114

Capitolo 18 - Primi teoremi sulle equazioni differenziali lineari (alle derivate ordinarie)

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Capitolo 18 - Primi teoremi sulle equazioni differenziali lineari (alle derivate ordinarie)
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§ 114. — Primi teoremi sulle equazioni differenziali lineari
(alle derivate ordinarie).

Si dicono equazioni lineari le equazioni del tipo


,


(1)


(perchè di primo grado nelle ), dove con indichiamo funzioni arbitrarie delle . Se , l'equazione di dice omogenea, perchè il tal caso manca il termine di grado zero nella e derivate. Noi abbiamo al § 111, , studiato la (1) nel caso , cioè nel caso di un'equazione del primo ordine. Supponiamo che siano due integrali della (1) non omogenea. Sarà:

                                        (2)

                                         (3)

Sostituendo (3) da (2) si verifica tosto che soddisfa all'equazione

                              (4)

omogenea, che si deduce da (1) ponendovi . Se dunque è una particolare soluzione di 81), ogni altra soluzione di (1) è del tipo , dove è una soluzione di (4), anche soddisfa ad (1). Dunque per carcare tutte e sole le soluzioni della (1) non omogenea, basta conoscerne una sola soluzione: tutte le altre si ottengono sommando con essa tutte le soluzioni della (4) omogenea.

Lagrange ha dimostrato, come vedremo meglio in seguito, che, se si sa risolvere la (4) omogenea, è sempre possibile trovare una soluzione della (1) non omogenea: e quindi, per quanto precede, che si sa risolvere pure la (1) sapendo integrare la (4).

Vediamo quindi di studiare l'equazione omogenea:

                                        (5)

Se è una funzione che la risolve, è facile vedere che pure , dove è una costante affatto arbitraria, è una soluzione dell'equazione; e infatti:

.

poichè il secondo fattore compreso tra parentesi è zero (essendo la una soluzione dell'equazione). [p. 382 modifica]Si ha ancora che, se e sono due soluzioni dell'equazione, l'equazione sarà pure soddisfatta da . E infatti:

,

poichè i due termini fra parentesi dell'ultima somma sono entrambi nulli, essendo e soluzioni dell'equazione. Da quanto precede possiamo concludere che, se sono costanti tutt'affatto arbitrarie, e sono soluzioni dell'equazione, sarà pure:

                                        (6)

una soluzione di (4). Poichè la (6) contiene proprio costanti arbitrarie, sorge spontanea la domanda se, al variare delle , la (6) rappresenta ogni integrale della (5), o, in altre parole, se la (6) con le cost. sia l'integrale generale di (5).

La (6) è una sola equazione lineare in quantità . Data la , essa si può risolvere, se , in infiniti modi. Si domanda pertanto: Se anche è una funzione che soddisfa a (5), vi è tra queste infinite soluzioni una soluzione, per cui tutte le k siano costanti?. Premettiamo alcune considerazioni di indole generale.