Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 116

by Guido Fubini

Capitolo 18 - Nuovi teoremi sulle equazioni lineari alle derivate ordinarie

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 116. — Nuovi teoremi sulle equazioni lineari alle derivate ordinarie.

Applichiamo il lemma precedente alla domanda posta al § 114. Le $z_{1},z_{2},.....,z_{n}$ siano $n$ soluzioni al Wronskiano differente da zero della equazione omogenea

(1)$\left\{{\begin{matrix}z^{(n)}+p_{1}z^{(n-1)}+p_{2}z^{(n-1)}+.....+p_{n-2}z''+\\+p_{n-1}z'+p_{n}z=0.\end{matrix}}\right.$

Anche $y$ soddisfi a tale equazione; sia cioè

(1)_bis $y^{(n9}+p_{1}y^{(n-1)}+.....+p^{y-1}y'+p_{n}y=0$;

Si scriva la $y$ nella forma (1) del precedente lemma: sarò per le (3), (3)_bis del lemma stesso

(2)$\left\{{\begin{matrix}k'_{1}z_{1}&+k'_{2}z_{2}&+.....+k'_{n}z_{n}&=0\\k'_{1}z'_{1}&+k'_{2}z'_{2}&+.....+k'_{n}z'_{n}&=0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\k'_{1}{z_{1}}^{(n-2)}&+{k'_{2}}^{(n-2)}&+.....+k'_{n}{z_{n}}^{(n-2)}&=0\end{matrix}}\right.$

mentre la (4)_bis del lemma diventa nel nostro caso in virtù di (1)_bis

(3)     $k'_{1}z_{1}^{\left(n-1\right.,}+k'_{2}z_{2}^{(n-1)}+.....+k'_{n}z_{n}^{(n-1)}=0$.

Le (2), (3) formano un sistema di $n$ equazioni lineari omogenee nelle $k'$, in cui il determinante dei coefficienti delle incognite è il Wronskiano delle $z$ che per ipotesi è differente da zero. Dunque (§ 27) le $k'$ sono nulle, cioè le $k$ costanti. possiamo dunque rispondere affermativamente alla domanda che chiude il § 114 affermando che:

Se sono note $\mathrm {n}$ soluzioni $\mathrm {z_{1},z_{2},.....z_{n}}$ della equazione omogenea (1) od (1)_bis a Wronskiano differente da zero, tutte le altre soluzioni $\mathrm {y}$ sono le loro combinazioni lineai $\mathrm {k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+.....+k_{n}z_{n}}$ a coefficienti $\mathrm {k}$ costanti.

Ma i nostri risultati permettono di affermare di più- Supponiamo che $y$ soddisfi non all'equazione omogenea (1)_bis, ma all'equazione non omogena.

(4) $y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+.....+p_{n-1}y'+p_{n}=f(x)$,

ferme restando le altre ipotesi sulle $z$. In tal caso, come sopra, si potranno ancora scrivere le (2), mentre la (4)_bis formano un sistema di $n$ equazioni di primo grado nelle $k'$, che si possono risolvere con la regola di Leibniz-Cramer, perchè il determinante dei coefficienti delle incognite è il Wronskiano delle $z$, differenze da zero. Si possono così determinare le $k'$ e quindi con $n$ integrazioni (una per ognuna delle $k'$) dedurne i valori delle $k$. Ognuna delle $k$ porta perciò l'indeterminazione di una costante additiva; cioè, se $h_{r}$ è un integrale indefinito della $k'_{r}$ testè determinata, si ha:

$k_{r}=h_{r}+c_{r}$

($c_{r}=$ costante arbitraria).

Cosicchè sarà:

$y=k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+.....+k_{n}z_{n}=$

$=(h_{1}z_{1}+h_{2}z_{2}+.....h_{n}z_{n})+(c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+.....+c_{r}z_{r})$.

Il secondo addendo del terzo membro è una combinazione lineare delle $z$, a coefficienti costanti c, da scegliersi in modo qualsiasi, cioè è una soluzione qualsiasi della equazione omogenea 81) od (1)_bis. E ciò è naturale perchè al § 114 abbiamo già visto che da una soluzione di (4) si passa alla soluzione più generale, aggiungendo ad essa la soluzione più generale della equazione omogenea corrispondente. Quindi:

Se le $\mathrm {z_{r}}$ sono le $\mathrm {n}$ soluzioni a Wronskiano differente da zero dell'equazione omogenea (1) od (1)_bis, la soluzione più generale $\mathrm {y}$ dell'equazione (4) non omogena si ottiene ponendo $\mathrm {y=k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+.....+k_{n}z_{n}}$, ove le $\mathrm {k}$ siano integrali di quelle funzioni $\mathrm {k}$, che si ottengono risolvendo le equazioni (2) e (3)_bis, algebriche lineari nelle $\mathrm {k'}$.

Si noti, che, se $f(x)=0$, la (3)_bis si riduce alla (3); le (2) e le (3)_bis dicono $k'=0$; cioè $k=$ cost., come avevamo già osservato.

Il metodo qui svolto di integrare la (trovare le soluzioni della) (4) si chiama metodo della variazione delle costanti arbitrarie, in quando che alle $k$, costanti arbitrarie nella formola che risolve (1), si sostituiscono conveniente funzioni di $x$ nella formola che risolve (4