Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 113

by Guido Fubini

Capitolo 18 - Primi tipi di equazioni lineari alle derivate ordinarie a coefficienti costanti

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 113. — Primi tipi di equazioni lineari alle derivate ordinarie a coefficienti costanti.

Oss. Il lettore, a cui non interessi il caso generale, potrà omettere lo studio dei seguenti tre paragrafi, sostituendo loro questo unico § 113. Paragrafo che invece potrò essere omesso da chi studii senz'altro il caso generale. È in ogni caso raccomandabile la lettura dell'esempio 4° al § 117.

1° Sia data l'equazione di primo ordine

$y'+py=0$

($p=$ cost.).

(1)

Le sue soluzioni sono date dalla

$y=Ce^{-px}$

($C=$ cost. arbitraria).

(2)

Si noti che nell'esponente $-px$ il coefficiente della $x$ è $-p$, e che $-p$ è la radice dell'equazione caratteristica

$c+p=0$

(3)

ottenuta da (1) ponendo al posto di $y'$ e di $y$ la $c^{1}=c$, e la $c^{0}=1$, essendo $c$ la incognita.

2° Sia data l'equazione

$y''+py'+qy=0$

($p,q=$ cost.).

(4)

Se $\alpha ,\beta$ sono le radici dell'equazione caratteristica

$c^{2}+pc+q=0$

(5)

ottenuta scrivendo $1,c,c^{2}$ al posto di $y,y',y''$ ($c$ essendo l'incognita), sarà

                                                  $\alpha +\beta =-p$     ,     $\alpha \beta =q$  ;

                                $\alpha =-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$     ,     $\beta =-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$  . La (4) si può scrivere:

$0=y''-(\alpha +\beta )y'+\alpha \beta y$

$=(y'-\alpha y)'-\beta (y'-\alpha y)$.

Cioè posto

$z-y'-\alpha y$.

(6)

la (4) diventa:

$z'-\beta z=0$.

(7)

Da (7) si trae:

($k=$ cost. arb.).

Da (6)

cosicchè:

$y=e^{x}\left\{\int ke^{(\beta -\alpha )x}dx+h\right\}$

($k,h=$ cost. arb.).

I. Se $\alpha =\beta$, cioè se ${\frac {p^{2}}{4}}=q$, se ne deduce

$y=c^{\alpha x}(C_{1}z+C_{2})$

$C_{1}=k$; $C_{2}=h$ cost. arbitrarie).

II. Se $\alpha \not =\beta$

$y=e^{\alpha x}\left\{{\frac {k}{\beta -\alpha }}e^{(\beta -\alpha )x}+h\right\}$

$y=C_{1}e^{\alpha x}+C_{2}e^{\beta x}$

$\left(C_{1}=h\;C_{2}={\frac {k}{\beta -\alpha }}{\text{cost. arbitr.}}\right)$.

Questa formolo, se $\alpha ,\beta$ sono reali, ci dà tutte le soluzioni reali di (4) quando vi si diano a $C_{1}$, $C_{2}$ valori reali arbitrarii. Si noti però che (anche se, come supponiamo, $p$ e $q$ sono reali) le $\alpha ,\beta$ possono essere complesse, ciò che avviene se $q-{\frac {p^{2}}{4}}>0$. L'ultima formola continua però a essere valida anche in questo caso e ci dà, sa noi siamo alle $C_{1},C_{2}$ valori complessi arbitrarii, tutte le soluzioni reali o complesse di (4).

scegliamo quelle di tali soluzioni che sono reali. Bisogna a tal fine che, mutando $i$ in $-i$, la nostra $y$ resti inalterata. Ma, se noi scambiamo $i$ in $-i$, le $\alpha ,\beta$ $\left({\text{che valgono}}-{\frac {p}{2}}\pm i{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}\right)$ si scambieranno tra loro. La nostra soluzione sarà reale allora e allora soltanto che $C_{1}</amtH>siottengada<math>C_{2}$ sono immaginarie coniugate.

Posto dunque $C_{2}={\frac {1}{2}}k_{1}+{\frac {1}{2}}ik_{2},C_{1}={\frac {1}{2}}k_{1}-{\frac {1}{2}}ik_{2}$ dove $k_{1},k_{2}$, sono costanti reali arbitrarie, la

$y=\left({\frac {1}{2}}k_{1}-{\frac {1}{2}}ik_{2}\right)e^{-{\frac {p}{2}}x+ix{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}}+\left({\frac {1}{2}}k_{1}+{\frac {i}{2}}k_{2}\right)e^{-{\frac {p}{2}}x-ix{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}}$

$=\left({\frac {1}{2}}k_{1}-{\frac {1}{2}}ik_{2}\right)e^{-{\frac {p}{2}}}\left\{{\text{cos}}{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}x+i\,{\text{sen}}{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}x\right\}$

$+\left({\frac {1}{2}}k_{1}+{\frac {1}{2}}ik_{2}\right)e^{-{\frac {p}{2}}x}\left\{{\text{cos}}{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}x-i\,{\text{sen}}{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}x\right\}$

$=e^{-{\frac {p}{2}}x}\left[k_{1}{\text{cos}}{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}x+k_{1}\,{\text{sen}}\,{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}x\right]$

dà tutte e sole le soluzioni reali della nostra equazione.