Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/374

358

capitolo xviii — § 109

---

L'analisi offre continui esempi di problemi, la cui risoluzione dipende da equazioni differenziali. Del resto è ben noto che anche la fisica, la meccanica, ecc, offrono innumerevoli esempi di tali problemi, perchè un gran numero di leggi fisiche si enunciano precisamente mediante equazioni differenziali. La legge di gravitazione universale, p. es., ci dà un legame tra le distanze dei centri dei corpi celesti e le rispettive accelerazioni, cioè le derivate seconde rispetto al tempo delle coordinate di tali centri.

Già i problemi che abbiamo risolto ai §§ 90, 92, 93 sono altrettante integrazioni di particolati equazioni o sistemi di equazioni differenziali.

Così, p. es., il problema di ricercare una funzione $z$ di $x$ e $y$ tale che la sua derivata rispetto a $x$ sia $M(x,y)$, e la sua derivata rispetto a $y$ sia $N(x,y)$, consiste nell'integrazione sel sistema di due equaizoni differenziali del primo ordine a derivate parziali:

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial z}{\partial x}}=M(x,y),\\{\frac {\partial z}{\partial y}}=N(x,y)\end{matrix}}\right.$.

La ricerca delle funzioni $z$ di $x$ e $y$ per cui la derivata parziale mista fatta prima rispetto a $x$ e poi rispetto a $y$ sia uguale a $P(x,y)$, non è altro che l'integrazione dell'equazione differenzale del secondo ordine a derivate parziali:

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=P(x,y)$.

La ricerca delle funzioni che hanno per derivata $f(x)$ si riduce all'integrazione dell'equazione differenziale ordinaria del primo ordine:

                                                  ${\frac {dz}{dx}}=f(x)$                                        (1)

È chiaro che la (1) è l'equazione differenziale di tipo più semplice: su di essa ci siamo lungamente trattenuti, formando la sua risoluzione l'oggetto precipuo del calcolo integrale. Ma è pure ben manifesto che, se per l'integrazione della (1) ci trovavamo assai spesso nel caso di non saperla eseguire che per approssimazione, per l'integrazione di equazioni differenziali più complesse avverrà generalmente altrettanto. Noi ci limiteremo esclusivamente allo studio di particolari tipi di equazioni.