Lezioni di analisi matematica/Capitolo 17/Paragrafo 108

by Guido Fubini

Capitolo 17 - Cambiamento della variabile d'integrazione negli integrali definiti o multipli. Integrali superficiali in coordinate polari

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 108. — Cambiamento della variabile d'integrazione
negli integrali definiti o multipli.
Integrali superficiali in coordinate polari.

Per quanto riguarda gli integrali definiti nulla c'è da aggiungere alla regola di integrazione per sostituzione già esposta al § 75, $\beta$, pag. 247.

Si tratta di estendere questa regola agli integrali multipli. Con metodo affatto analogo a quello dell'ora citato § 75, si dimostra (cfr. il § 101, $\gamma$, pag. 334):

Se $I,\mathrm {H}$ sono due campi in corrispondenza biunivoca continua, in modo che le funzioni additive dei pezzi $\tau$ di $I$ si possano considerare come funzioni additive dei pezzi $\mathrm {k}$ di $\mathrm {H}$, se $\mathrm {F}$ è una funzione continua dei punti $I$, e quindi anche dei punti di $\mathrm {H}$, allora:

                                        $\int _{I}f\,d,\tau =\int _{H}\left(F\,{\frac {d\,\tau }{dk}}\right)dk$.          (1)

Ma l'importanza di questo teorema si potrà vedere soltanto dalle applicazioni.

Sia $I$ un campo finito del piano <mah>xy</math>; per fissar le idee, l'origine¹ sia esterna al contorno od ai contorni di $I$; si possono determinare allora le coordinate polari $\rho$ e $\theta$ di un punto generico $I$, così che $\rho$ e $\theta$ siano funzioni continue delle $x,y$ e viceversa. Poniamo $\rho =X,\theta =Y$, considerando le $X,Y$ come coordinate cartesiane di un punto posto in un altro piano $P$. Ad ogni punto di $I$ corrisponderà allora uno e un solo punto di questo piano $P$. E i punti di $P$, che corrispondono a punti di $I$, riempiranno tutta una regione $H$ di $P$

(Notiamo che $x=\rho {\text{cos}}\,\theta =X{\text{cos}}Y,y=\rho {\text{sen}}\theta =X{\text{sen}}Y$)

Una funzione $F(x,y)$ continua delle $x,y$ diverrà una funzione continua $F(X{\text{cos}}\,Y,X{\text{sen}}\,Y$) delle $X,Y$

Se $\tau$ e $k$ sono due pezzi corrispondenti di $I$ e di $H$, la derivata ${\frac {d\,\tau }{dk}}$ si trova, come ora vedremo, uguale ad $X=\rho$. Cosicchè la (1) diventa:

$\int _{I}F(x,y)d\tau =\int _{H}F(X{\text{cos}}\,Y,X\,{\text{sen}}\,Y)\,X\,d\,k$.

Per i risultati dei §§ 103-105 questa formola si può scrivere:

$\int _{I}\ dx\,\int \,F(x,y)dy=\,\int _{H}\,d\,X\,\int \,F(X{\text{cos}}\,Y,X\,{\text{sen}}\,Y)X\,d\,Y=$.

$=\int _{H}\,d\,Y\,\int \,F(X\,{\text{cos}}\,Y,X{\text{sen}}\,Y)\,X\,d\,X$

o anche

(2)   $\int \,dx\,\int \,F(x,y)dy=\int d\,\rho \,\int \,F(\rho {\text{cos}}\,\theta ,\rho {\text{sen}}\,\theta )\,\rho \,d\,\theta =$

$=\int \,d\,\theta \,\int \,F(\rho \,{\text{cos}}\,\theta ,\rho \,{\text{sen}}\,\theta )\,\rho \,d\,\rho$.

Prima di dimostrare che ${\frac {d\,\tau }{dk}}=\rho$, vogliamo fare alcune osservazioni:

Oss. I^a Si noti che non si passa dal primo al secondo o terzo membro di questa formola sostituendo a $dx=d(\rho \,{\text{cos}}\,\theta )$ ed a $dy=d(\rho \,{\text{sen}}\,\theta )$ i loro valori ${\text{cos}}\,\theta \,d\,\rho \,-\,\rho \,{\text{sen}}\,\theta \,d\,\theta$ e $\rho \,{\text{cos}}\,\theta \,d\,\theta \,+\,{\text{sen}}\,\theta \,d\,\rho$; come potrebbe sembrare a un lettore inesperto. In questo caso il $d\tau$ che cmpare sotto il segno di integrazione e {{sc|non} i $dx.dy$ si possono trasformare come differenziali veri e proprii².

Oss. II^a Si possono calcolare il secondo e terzo membro della nostra formola, senza neanche pensare al campo $H$, in modo analogo a quello seguito nei §§ 103-105 per calcolare il 1° membro. Per es., $\int \,d\,\theta \,\int \,F\,\rho \,d\,\rho$ si può calcolare così: SI consideri una linea $\theta ={\text{cost.}}$ (che è una retta uscente dall'origine). Su di essa la $F$ diventa funzione della sola $\rho$; si calcoli $\int \,F\,\rho \,d\,\rho$ esteso al segmento, o ai segmenti che la nostra figura $I$ determina su tale linea. Tale integrale è una funzione di $\theta$ che i integra tra il minimo e il massimo valore di $\theta$ in $I$.

(Si noti che le linee $\theta ={\text{cost.}}$ e $\rho ={\text{cost.}}$ hanno per immagine in $H$ le rette $Y={\text{cost.}}$ ed $X={\text{cost.}}$ parallele agli assi coordinati).

Vogliamo ora dimostrare che ${\frac {d\tau }{dk}}=X=\rho$. Consideriamo un pezzo $k$ di $H$ limitato da due parallele all'asse delle $Y$, e due parallele all'asse delle $x$. Siano $X,X+\Delta X$ e $Y,Y+\Delta Y$ i corrispondenti valori delle $X,Y$. Tale pezzo è un rettangolo, l a cui area $k=\Delta X\Delta Y$.

L'immagine di questo pezzo sul piano $xy$ è un quadrangolo $\tau$ limitato da due cerchi col centro nell'origine e raggi $X,X+\Delta X$, e inoltre da due rette uscenti dall'origine formanti con l'asse delle $x$ rispettivamente gli angoli Y, Y+\Delta Y</math> e quindi formanti tra loro l'angolo $\Delta Y$. La corona circolare limitata dai citati due cerchi ha per area

$\pi \left\{(X+\Delta X)^{2}-X^{2}\right\}=\pi [2\,X\,\Delta X+(\Delta X)^{2}]$;

l'area $\tau$ di $\tau$ sarà dunque data dalla proporzione:

$\tau :\pi [2\,X\,\Delta \,X+(\Delta X)^{2}]=\Delta \,Y:2\,\pi$

cosicchè:

$\tau =\left[X\,\Delta X+{\frac {1}{2}}(\Delta \,X)^{2}\right]\Delta \,Y=X\,\Delta \,X\,\Delta \,Y+{\frac {1}{2}}(\Delta \,X)^{2}\,\Delta \,Y$.

Dunque

${\frac {\tau }{k}}=X+{\frac {1}{2}}\Delta X=\rho +{\frac {1}{2}}\Delta \rho$.

Per $\Delta \rho =0$ tale rapporto ha pure per limite $\rho$.

Si potrebbe dire che $\tau$ vale $X\Delta X\Delta Y$, a meno di infinitesimi di ordine superiore.

Bisognerebbe completare questa dimostrazione, considerando campi $k$ di forma qualsiasi; noi ce ne dispensiamo ricordando solo al lettore che gli stessi metodi, con cui nel § 105 abbiamo dimostrato l'esattezza di una formola analoga in coordinate cartesiane ortogonali, potrebbero provare la formola attuale in coordinate polari (cfr. più avanti in questo stesso §).

Osservazione.

Si potrebbero anche applicare i metodi del § 1013, in cui il campo era diviso in pezzi con rette parallele agli assi, cioè con linee di equazione $x={\text{cost.}}<math>,oppurey={\text{cost.}}$ Si dovrebbe ora invece dividere il campo in pezzetti con linee $\rho ={\text{cost.}}$ e $\theta ={\text{cost.}}$ (cerchi col centro nell'origine e rette uscenti dall'origine). Prescindendo dai pezzi sul contorno, gli altri sono quadrangoli la cui area vale, come vedemmo più sopra, $\rho \,d\rho \,+{\frac {1}{2}}\,d\rho ^{2}\,d\theta$. Se $F$ è la funzione da integrare, il suo integrale si trova coi metodi del § 103 uguale al limite di

$\Sigma \,F\,\rho \,d\,\rho \,d\,\theta +{\frac {1}{2}}\Sigma \,F\,d\,\rho ^{2}\,d\,\theta$

per $d\rho =d\theta =0$. (Indico con $F$ un valore assunto da $F$ in un punto di ogni pezzetto). Il primo addendo si prova (§ 105) tendere ad $\int \int \,F\,\rho \,d\,\rho \,d\,\theta$; il secondo addendo tende a zero; perchè, se $H$ è il massimo di $|F|$, ed $\epsilon$ il massimo valore di $d\rho$, allora:

$|\Sigma \,F\,d\,\rho ^{2}\,d\,\theta |<H\,\epsilon \,\Sigma \,d\,\rho \,d\,\theta =H\,\epsilon \,\Sigma \,d\,\rho \,\Sigma \,d\,\theta$.

Ora $\Sigma d\rho$ tende alla differenza dei valori massimo e minimo, che $\rho$ assume nel campo considerato; $\Sigma d\theta$ non supera 2\pi</math>. poichè $\epsilon$ tende a zero, segue tosto che $\Sigma Fd\rho ^{2}d\theta$ tende a zero. c.d.d.

D'altra parte sia questo risultato, sia quello del prossimo paragrafo saranno dimostrati in futuro capitolo con metodi meno diretti, ma di una estrema semplicità.

Si può anche generalizzare il risultato del § 104 interpretando geometricamente la (2) nel seguente modo (per il caso $f\geq \,0$):

Il volume di un cilindroide, o di un solido decomponibile in un numero finito di cilindroidi si ottiene integrando rispetto a $\rho$ l'area della sezione, eseguita con un cilindro circolare retto di asse invariabile e di raggio variabile $\rho$.

Sarà un esercizio utilissimo il riconoscere come si possa ottenere facilmente una dimostrazione completa del nostro risultato con l'applicazione dello stesso metodo usato al § 105 in caso analogo.

Infatti, seguendo questa via, si riconosce tosto essere sufficiente provare che l'area di $\tau$ è data, p. es., da $\int \,d\,v\,\int \,\rho \,d\,\rho$ esteso al campo $\tau$. ora a pag. 342, per dimostrare il teorema analogo che tale area vale $\int \,dx\,\int \,dy$, siamo partiti dalla formola che dà l'area di un rettangoloide, cioè di una figura limitata dalle linee $y=0,x=a,x=b$ e da una linea $y=f(x)$.

Per il caso attuale basterà similmente applicare la formola data al § 95 $\delta$, per l'area della figura limitata dal punto $\rho =0$, dalle linee $\theta =a,\theta =b$ e da una curva $\rho =F(b)$.

Fomrole analoghe si dimostrano per integrali tripli. Ricordiamo particolarmente i seguenti sistemi notevoli di coordinate nello spazio.

1° Coordinate cilindriche $\rho ,\theta ,z$ alle coordinate cartesiane ortogonali dalle $x=\rho {\text{cos}}\theta$; $y=\rho {\text{sen}}\theta$; $z=z$. Un tale sistema equivale ad adottare coordinate polari $\rho ,\theta$ nel piano $xy$, conservando la terza coordinata $z$-. Tali coordinate si chiamano cilindriche perchè $\rho ={\text{cost.}}$ è l'equazione di un cilindro circolare retto con generatrici parallele all'asse delle zmatH>z</math>. Si trova

$\int \int \int F(x,y,z)dx\,dy\,dz=\int \int \int F(\rho {\text{cos}}\,\theta ,\rho {\text{sen}}\,\theta ,z)\,\rho \,d\rho \,d\theta \,dz$.

2° Coordinate polari $\rho ,\theta ,\varphi$ (nello spazio) legate alle coordinate cartesiane ortogonali dalle:

$x=\rho {\text{sen}}\theta {\text{cos}}\varphi \,\,\,\,;$

$y=\rho {\text{sen}}\,\theta {\text{sen}}\,\varphi \,\,\,;$

$z=\rho {\text{cos}}\,\theta$.

Il raggio vettore $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ è la distanza del punto dall'origine. L'angolo $\theta$ è la colatitudine (complemento della latitudine, quando si assuma il piano $xy$ a piano equatoriale). L'angolo $\varphi$ è la longitudine (contata a partire dal piano $xz$ come meridiano iniziale). Si trova:

$\int \int \int F(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=$

$=\int \int \int F(\rho \,{\text{sen}}\,\theta {\text{cos}}\,\varphi ,\rho {\text{sen}}\,\theta \,{\text{sen}}\,\varphi ,\rho {\text{cos}}\theta )\rho ^{2}\,{\text{sen}}\,\theta \,d\theta \,d\rho \,d\varphi$, come si prova osservando che il volume racchiuso tra due sfere di raggio $\rho$ e \rho+d\rho</math>, tra due coni di colatitudine $\theta$ e $\theta +d\theta$, e tra due semipiani di longitudine $\varphi$ e $\varphi +d\varphi$ vale $\rho ^{2}\,{\text{sen}}\,\theta \,d\theta \,d\rho \,d\varphi$ a meno di infinitesimi d'ordine superiore.

Note

1. L'origine è un punto eccezionale per il sistema delle coordinate polari.
2. Si noti infatti che, se la prima integrazione si esegue, p. es., rispetto alla $x$, si deve considerare la $y$ come costante; perciò: nel passare alle $\rho ,\theta$, si dovrebbe a $dx$ sostituire il suo valore ottenuto nell'ipotesi che $dy=d(\rho \,{\text{sen}}\,\theta )=0$.