Lezioni di analisi matematica/Capitolo 17/Paragrafo 107

by Guido Fubini

Capitolo 17 - Esempi di cambiamento dì variabili in formole di calcolo differenziate

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 17 - Esempi di cambiamento dì variabili in formole di calcolo differenziate

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§ 107. — Esempi di cambiamento di variabili in formole di calcolo differenziale.

Noi, piuttosto di dare una teoria generale, diamo alcuni esempi del come sia facile risolvere problemi di questo tipo. E supporremo senz'altro soddisfatte tutte le condizioni, che ci permetteranno di applicare i teoremi che invocheremo (p. es., derivate finite, oppure finite e continue, denominatori differenti da zero).

I. Siano $x=x(t),y=y(t)$ due funzioni di $t$ definite nello stesso intervallo. Dalla prima di esse si possa dedurre $t$ come funzione $t(x)$ della $x$. Coicchè, sostituendo nella seconda, si possa pensare $y$ come funzione della $x$.

Si calcolino $y'_{x},y''_{x},.....$, supponendo note $x'_{t},y'_{t},x''_{t},y''_{t},.....$.

È: {{centrato|$y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'_{t}dt}{x'_{t}dt}}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}$ A questa formola si potrebbe giungere (senza usare i differenziali) ricordando che per la regola di derivazione delle funzioni inverse $t'_{x}={\frac {1}{x'_{t}}}$ e che $y'_{x}=y'_{t}t'_{x}$.

È:

$y''_{x}={\frac {dy'_{x}}{dx}}={\frac {dy'_{x}}{dt}}{\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{x'_{t}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}\right)={\frac {y''_{t}x'_{t}-y'_{t}x''_{t}}{{x'_{t}}^{3}}}$,

$y'''_{x}={\frac {dy''_{x}}{dx}}={\frac {dt}{dx}}{\frac {dy''_{x}}{dt}}={\frac {1}{x'_{t}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {y''_{t}x'_{t}-y'_{t}x''_{t}}{{x'_{t}}^{3}}}\right)=$

${\frac {x'_{t}(y'''_{t}x'_{t}-y'_{t}x'''_{t})-3x''_{t}(y''_{t}x'_{t}-x''_{t}y'_{t})}{{x'_{t}}^{5}}}$, ecc.

II. Con le notazioni precedenti, è ben evidente che non si possono viceversa calcolare le $x'_{t},y'_{t},x''_{t},y''_{t},.....$ quando soltanto si conoscano le $y'_{x},y''_{x},.....$, perchè tale questione è indeterminata. Il problema resta determinato se aggiungiamo qualche condizione per la variabile $t$, se, p. es., supponiamo$t$ scelto in guisa che ${x'_{t}}^{2}+{y'_{t}}^{2}=1$¹.

Sarà:

$x'_{t}={\frac {dx}{dt}}$   ,   $y'_{t}={\frac {dy}{dt}}$  , donde (per la ${x'_{t}}^{2}+{y'_{t}}^{3}=1$, ossia ${\sqrt {dx^{2}+dx^{2}}}=dt$) si trae:

$x'_{t}={\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+{y'_{x}}^{2}}}}$,

$y'_{t}={\frac {dy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}={\frac {\frac {dx}{dy}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}={\frac {y'_{x}}{\sqrt {1+{y'_{x}}^{2}}}}$.

È:

$x''_{t}={\frac {dx'_{t}}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dx'_{t}}{dx}}=x'_{t}{\frac {dx'_{t}}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1+{y'_{x}}^{2}}}}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{\sqrt {1+{y'_{x}}^{2}}}}\right)=$

$={\frac {1}{\sqrt {1+{y'_{x}}^{2}}}}[-(1+{y'_{x}}^{2})^{\frac {3}{2}}y'_{x}y''_{x}]=-{\frac {y'_{x}y''_{x}}{(1+{y'_{x}}^{2})^{2}}}$.

$y''_{t}={\frac {dy'_{t}}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dy'_{t}}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {y'_{x}}{\sqrt {1+{y'_{x}}^{2}}}}\right)=$

${\frac {y''_{x}}{1+{y'_{x}}^{2}}}-{\frac {{y'_{x}}^{2}y''_{x}}{(1+{y'_{x}}^{2})^{2}}}={\frac {y''_{x}}{(1+{y'_{x}}^{2})^{2}}}$, ecc.

III. Sia $z$ una funzione di $x,y$; le quali siano a loro volta funzioni di due variabili $u,v$; cosicchè $z$ si possa considerare come funzione di $u,v$. Conoscendo le

$z'_{x},z'_{y}z'_{xx},z''_{xy},.....,x'_{u},x''_{uu},x'_{v},.....$,

si calcolino le $z'_{u},z'_{v},z'_{u}u$ ecc. È per il teor. del § 83:

$z'_{u}={\frac {\partial z}{\partial u}}={\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial z}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}$.

$z'_{v}={\frac {\partial z}{\partial v}}={\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial z}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}$.

Queste formole si possono anche ottenere, notando che:

$dz={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy={\frac {\partial z}{\partial x}}\left[{\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right]+{\frac {\partial z}{\partial y}}\left[{\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right]=$

$=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial z}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial z}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)dv$,

e confrontando con:

$dz={\frac {\partial z}{\partial u}}du+{\frac {\partial z}{\partial v}}dv$.

Così con metodo analogo:

$z''_{uu}={\frac {\partial z'_{u}}{\partial u}}={\frac {\partial }{\partial u}}\left[{\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial z}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}\right]={\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial u^{2}}}+$

$+{\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial y}{\partial u}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)=$

${\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial x}{\partial u}}\left[{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}\right]+$

$+{\frac {\partial y}{\partial u}}\left[{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}{\frac {\partial y}{\partial u}}\right]$, ecc.

(Si ponga, p. es., $u=\rho ,v=\theta ,x=\rho {\text{cos}}\theta ,y=\rho {\text{sen}}\theta )$.

oss. È facile anche calcolare le $x'_{u},x'_{v},y'_{u},y'_{v}$ quando siano note le $u'_{x},u'_{y},v'_{x},v'_{y}$. Infatti, pensate le $x,y$ come funzioni delle $u,v$ funzioni delle $x,y$ si ha:

$1=x'_{x}=x'_{u}u'_{x}+x'_{v}v'_{x}$,

$0=x'_{y}=x'_{u}u'_{y}+x'_{v}v'_{y}$;

da cui, risolvendo, si ricavano tosto le $x'_{u},x'_{v}$. In modo simile si calcolano le $y'_{u},y'_{v}$.

IV. Talvolta si studia una stessa curva , usando in un primo studio certe coordinate $x,y$, in un altro calcolo altre coordinate $u,v$ [p. es., le coordinate polari $u=\rho ,v=\theta$, dove $x=\rho {\text{cos}}\theta ,y=\rho {\text{sen}}\theta ]$. Nel primo caso l'equazione della curva sia $y=f(x)$; nel secondo $u=\varphi (v)$. Si calcolino $u'_{v},u''_{r}$, ecc., conoscendo le $y'_{x},y''_{x}$, ecc. Naturalmente devono essere note le formole che permettono di passare dall'uno o dall'altro sistema di coordinate; $u=u(x,y)$ e $v=v(x,y)$.

Sarà:

$u'_{x}={\frac {du}{dv}}={\frac {{\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy}{{\frac {\partial v}{\partial x}}dx+{\frac {\partial v}{\partial y}}\partial y}}={\frac {{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}}{{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}}}$

$u''_{v}={\frac {du'_{v}}{dv}}={\frac {1}{\frac {dv}{dx}}}={\frac {1}{{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}y'_{x}}}\left[{\frac {\partial u'_{n}}{\partial x}}+{\frac {\partial u'_{\tau }}{\partial y}}y'_{x}\right]$.

I valori di $\partial u'_{v}}{\partial x,{\frac {\partial '_{v}}{\partial y}}$ si ricavano facilmente dalla precedente equazione, ecc.

Come esempio particolare studiamo le relazioni che passano tra le derivate delle $y=f(x),\rho =\varphi (\theta )$, supposto che queste equazioni rappresentino la stessa curva in coordinate cartesiane e polari. È:

$d'(x)=y'_{x}={\frac {{\text{sen}}\theta d\rho +\rho {\text{cos}}\theta d\theta }{{\text{cos}}\theta d\rho -\rho {\text{sen}}\theta d\theta }}={\frac {{\text{dg}}\theta \varphi '(\theta )+\rho }{\varphi '(\theta )-\rho {\text{tg}}\theta }}$;

$f''(x)=y''_{x}={\frac {1}{{\text{cos}}\theta \varphi '(\theta )-\rho {\text{sen}}\theta }}\left\{{\frac {\partial y'_{x}}{\partial \rho }}\varphi '(\theta )+{\frac {\partial y'_{x}}{\partial \theta }}\right\}=$

${\frac {-\rho \varphi ''+2{y'}^{2}+\rho ^{3}}{[{\text{cos}}\theta \varphi '(\theta )-\rho {\text{sen}}\theta ]^{3}}}$.

Note

1. Ciò equivale, come vedremo, a supporre che ($x,y$) sia punto generico di una curva, l'arco della quale a partire da un punto fisso, abbia lunghezza $t$.