Lezioni di analisi matematica/Capitolo 17/Paragrafo 107

Capitolo 17 - Esempi di cambiamento dì variabili in formole di calcolo differenziate

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Capitolo 17 - Esempi di cambiamento dì variabili in formole di calcolo differenziate
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§ 107. — Esempi di cambiamento di variabili in formole di calcolo differenziale.

Noi, piuttosto di dare una teoria generale, diamo alcuni esempi del come sia facile risolvere problemi di questo tipo. E supporremo senz'altro soddisfatte tutte le condizioni, che ci permetteranno di applicare i teoremi che invocheremo (p. es., derivate finite, oppure finite e continue, denominatori differenti da zero).

I. Siano due funzioni di definite nello stesso intervallo. Dalla prima di esse si possa dedurre come funzione della . Coicchè, sostituendo nella seconda, si possa pensare come funzione della .

Si calcolino , supponendo note .

È: {{centrato| A questa formola si potrebbe giungere (senza usare i differenziali) ricordando che per la regola di derivazione delle funzioni inverse e che .

È:

,

, ecc.

[p. 348 modifica]II. Con le notazioni precedenti, è ben evidente che non si possono viceversa calcolare le quando soltanto si conoscano le , perchè tale questione è indeterminata. Il problema resta determinato se aggiungiamo qualche condizione per la variabile , se, p. es., supponiamo scelto in guisa che 1.

Sarà:

   ,     , donde (per la , ossia ) si trae:

,

.

È:

.

, ecc.

III. Sia una funzione di ; le quali siano a loro volta funzioni di due variabili ; cosicchè si possa considerare come funzione di . Conoscendo le

,

[p. 349 modifica]si calcolino le ecc. È per il teor. del § 83:

.

.

Queste formole si possono anche ottenere, notando che:

,

e confrontando con:

.

Così con metodo analogo:

, ecc.

(Si ponga, p. es., .

oss. È facile anche calcolare le quando siano note le . Infatti, pensate le come funzioni delle funzioni delle si ha:

,

;

da cui, risolvendo, si ricavano tosto le . In modo simile si calcolano le .

IV. Talvolta si studia una stessa curva , usando in un primo studio certe coordinate , in un altro calcolo altre coordinate [p. es., le coordinate polari , dove [p. 350 modifica]. Nel primo caso l'equazione della curva sia ; nel secondo . Si calcolino , ecc., conoscendo le , ecc. Naturalmente devono essere note le formole che permettono di passare dall'uno o dall'altro sistema di coordinate; e .

Sarà:

.

I valori di si ricavano facilmente dalla precedente equazione, ecc.

Come esempio particolare studiamo le relazioni che passano tra le derivate delle , supposto che queste equazioni rappresentino la stessa curva in coordinate cartesiane e polari. È:

;

.

Note

  1. Ciò equivale, come vedremo, a supporre che () sia punto generico di una curva, l'arco della quale a partire da un punto fisso, abbia lunghezza .