Lezioni di analisi matematica/Capitolo 16/Paragrafo 106

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 16 - Volume di un solido di rotazione e teorema di Guldino

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§ 106. — Volume di un solido di rotazione
e teorema di Guldino.

Sia $\sigma$ un campo del piano $xz$ non intersecante l'asse delle $z$ ; il quale rotando attorno a tale asse generi un solido di rotazione $S$ . Per trovarne il volume $V$ il procedimento più rapido è quello di integrare rispetto alla $z$ l'area della sezione ottenuta segando $S$ con un piano $z={\text{cost.}}$ .

Se una retta $z={\text{cost.}}$ del piano $xz$ incontra il contorno di $\sigma$ al più in due punti di ascissa $x_{1},x_{2}$ (porremo $x_{1}<x_{2}$ ), tale sezione è la corona circolare limitata da due cerchi di raggio $x_{1},x_{2}$ , ed ha per area $\pi (x_{2}^{2}-x_{1}^{2})$ , dove $x_{1}$ ed $x_{2}$ sono funzioni di $z$ . Il volume $\mathrm {V}$ di $\mathrm {S}$ sarà perciò $\pi \int (x_{2}^{2}-x_{1}^{2})dz$ .

Poichè $x_{2}^{2}-x_{1}^{2}=2\int _{x_{1}}^{x_{2}}xdx$ , tale volume si può indicare con

$V=2\pi \int dz\int xdz=2\pi \int xd\sigma$ ¹

[p. 346 modifica]dove l'integrale doppio deve essere esteso al campo $\sigma$ (la cui rotazione genera $S$ ). Vedemmo (§§ 101-102) che ${\frac {f\,x\,d\sigma }{\sigma }}$ e l'ascissa $x_{g}$ del centro di gravità di $\sigma$ considerato come l'anima omogenea, il quale centro descrive nella rotazione attorno all'asse delle $z$ un cerchio, la cui periferia vale $2\pi x_{g}=2\pi {\frac {f\,x\,d\sigma }{\sigma }}={\frac {V}{\sigma }}$ . Dunque (teor. di Guildino):

Il volume V generato dalla rotazione di un campo piano $\sigma$ attorno a un asse complanare che non l'attraversa vale il prodotto dell'area di $\sigma$ per la lunghezza della circonferenza descritta dal suo centro di gravità.

Esempi.

1° Sia, p. es., dato un cerchio $C$ nel piano $xz$ , non intersecante l'asse delle $z$ . Rotando attorno a quest'asse, esso genera un toro di rivoluzione, di cui si può facilmente col precedente teorema calcolare il volume $V$ . Se $r$ è il raggio del cerchio $C$ , $d$ la distanza del suo centro dall'asse dele $z$ , si trova

$V=2\,\pi ^{2}\,r^{2}\,d$ ,

perchè il centro di gravità di un'area circolare coincide col suo centro.

2° Un semicerchio avente il diametro sull'asse delle $z$ e un raggio $r$ ha per area ¹/₂ $\pi r^{2}$ , e genera rotando una sfera di volume ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ ; la distanza $\lambda$ dal centro di gravità del semicerchio dall'asse delle $z$ è dunque data dall'equazione

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}=$ ¹/₂ $\pi r^{2}$ . $2\pi \lambda$ cioè $\lambda ={\frac {4\,r}{3\,\pi }}$ .

3° Lo studioso generalizzi questa formola ad una semiellisse, ricordando la formola a noi nota del volume di un ellissoide di rotazione.

Note

↑ Questa formola vale anche se il contorno di $\sigma$ è incontrato in più di due punti da una retta $z={\text{cost.}}$ del piano $xy$ . Al lettore la dimostrazione, che si ttiene (nei casi più elementari) scomponendo $\sigma$ in convenienti sue parti.

[1] Questa formola vale anche se il contorno di $\sigma$ è incontrato in più di due punti da una retta $z={\text{cost.}}$ del piano $xy$ . Al lettore la dimostrazione, che si ttiene (nei casi più elementari) scomponendo $\sigma$ in convenienti sue parti.

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