Lezioni di analisi matematica/Capitolo 16/Paragrafo 106

Capitolo 16 - Volume di un solido di rotazione e teorema di Guldino

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Capitolo 16 - Volume di un solido di rotazione e teorema di Guldino
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§ 106. — Volume di un solido di rotazione
e teorema di Guldino.

Sia un campo del piano non intersecante l'asse delle ; il quale rotando attorno a tale asse generi un solido di rotazione . Per trovarne il volume il procedimento più rapido è quello di integrare rispetto alla l'area della sezione ottenuta segando con un piano .

Se una retta del piano incontra il contorno di al più in due punti di ascissa (porremo ), tale sezione è la corona circolare limitata da due cerchi di raggio , ed ha per area , dove ed sono funzioni di . Il volume di sarà perciò .

Poichè , tale volume si può indicare con

1

[p. 346 modifica]dove l'integrale doppio deve essere esteso al campo (la cui rotazione genera ). Vedemmo (§§ 101-102) che e l'ascissa del centro di gravità di considerato come l'anima omogenea, il quale centro descrive nella rotazione attorno all'asse delle un cerchio, la cui periferia vale . Dunque (teor. di Guildino):

Il volume V generato dalla rotazione di un campo piano attorno a un asse complanare che non l'attraversa vale il prodotto dell'area di per la lunghezza della circonferenza descritta dal suo centro di gravità.

Esempi.

Sia, p. es., dato un cerchio nel piano , non intersecante l'asse delle . Rotando attorno a quest'asse, esso genera un toro di rivoluzione, di cui si può facilmente col precedente teorema calcolare il volume . Se è il raggio del cerchio , la distanza del suo centro dall'asse dele , si trova

,

perchè il centro di gravità di un'area circolare coincide col suo centro.

Un semicerchio avente il diametro sull'asse delle e un raggio ha per area 1/2, e genera rotando una sfera di volume ; la distanza dal centro di gravità del semicerchio dall'asse delle è dunque data dall'equazione

1/2. cioè .


3° Lo studioso generalizzi questa formola ad una semiellisse, ricordando la formola a noi nota del volume di un ellissoide di rotazione.



Note

  1. Questa formola vale anche se il contorno di è incontrato in più di due punti da una retta del piano . Al lettore la dimostrazione, che si ttiene (nei casi più elementari) scomponendo in convenienti sue parti.