Lezioni di analisi matematica/Capitolo 16/Paragrafo 101

by Guido Fubini

Capitolo 16 - Estensione dei principali teoremi del calcolo differenziale

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 16 - Estensione dei principali teoremi del calcolo differenziale

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§ 101. — Estensione dei principali teoremi
del calcolo differenziale.

$\alpha$) Per queste derivate si possono estendere molti teoremi di calcolo. Bisognerebbe, per restare nel campo più generale, limitare un po' il tipo di campi $\tau$, per i quali si costruiscano i rapporti ${\frac {S(\tau )}{\tau }}$, che compaiono nella definizione di derivata. Questa generalità è però inutile a noi che supponiamo la derivata $\mathrm {F}$ continua. Noi estenderemo il teorema della media. Se $\mathrm {S(\tau )}$ possiede derivata $\mathrm {F}$ continua in ogni punto di $\mathrm {I}$ (inclusi i punti del contorno di $I$), allora $\mathrm {\frac {S(\tau )}{\tau }}$ è compreso tra il limite superiore $\mathrm {L}$ e l'inferiore $\mathrm {I}$ dei valori della derivata $\mathrm {F}$ nei punti di $\mathrm {\tau }$¹.

Se, p. es., $S(\tau )$ è il peso del pezzo $\tau$, allora ${\frac {S(\tau )}{\tau }}$ è la densità media i $\tau$; e tale teorema ci dice (precisamente come nel caso delle sbarre) che la densità media di un pezzo $\tau$ non può superare il massimo (o il limite superiore=, nè essere inferiore al minimo o(o limite inferiore) della densità nei varii punti del pezzo considerato.

Dimostriamo, p. es., che non può essere ${\frac {S(\tau )}{\tau }}=L+\epsilon$ con $\epsilon >0$.. Diviso infatti $\tau$ in due campi parziali $\tau _{1}$ e $\tau '_{1}$, sarebbe $S(\tau )=S(\tau _{1})+S(\tau '_{1})$; cosicche

${\frac {S(\tau )}{\tau }}...{\frac {S(\tau _{1})+S(\tau '_{1})}{\tau _{1}+\tau '_{1}}}=L+\epsilon$.

Poichè ${\frac {S(tau_{1})+S(\tau '_{1})}{\tau _{1}+\tau '_{1}}}$ non può superare la più grande delle ${\frac {S(\tau _{1})}{\tau }},{\frac {S(\tau '_{1}}{\tau _{1}}}$, una di queste frazioni, p. es. la ${\frac {S(\tau )}{\tau _{1}}}$, sarà non minore di $L+\epsilon$. In $\tau _{1}$ esisterà. come si dimostra in modo analogo, un campo $\tau _{2}$ tale che ${\frac {S(\tau _{2})}{\tau _{2}}}\geq L+\epsilon$. E così via.

È facile dare una legge di divisione dei successivi campi $\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3}$, ecc., in campi parziali cos+ che esista uno e un solo punto $A$ interno a tutti i campi $\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3}$, ecc.

La derivata di $S(\tau )$ in $A$, cioè $\lim _{n=\infty }{\frac {S(\tau _{n}}{\tau _{n}}}$ non potrà dunque essere inferiore ad $L+\epsilon$; ciò che è assurdo, perchè $L$ è il limite superiore dei valori di tale derivata in tutto $\tau$.

$\beta$) Possiamo anche estendere la nozione di differenziale. Se $F$ è la derivata di $S$, il $\lim {\frac {S(\tau )}{\tau }}$, quando tutti i punti di $\tau$ tendono a un punto $A$, o, come diremo, per $\tau =A$, vale il valore $F(A)$ della $F$ nel punto $A$. Cosicchè $\lim _{\tau =A}\left[{\frac {S(\tau )}{\tau }}-F(A)\right]=0$. Potremo dunque scrivere:

${\frac {S(\tau )}{\tau }}=F(A)+\epsilon$,

dove $\epsilon$ tende a zero per $\tau =A$, ossia

$S(\tau )=F(A)\tau +s\tau$.

Il primo addendo $F(A)\tau$ si dirà il differenziale della $S$, e si indicherò con $dS$. Noi porremo perciò per definizione

$dS=F(A)\tau$.

Se $S=\tau$, se cioè $S$ coincide addirittura con la misura di $\tau$, la sua derivata sarà sempre uguale a $1$. Cosicchè il suo differenziale sarà dato dalla:

$d\tau =\tau$.

E la precedente equazione diventa:

$dS=F(A)d\tau$, ossia $F(A)={\frac {dS}{d\tau }}$.

Anche in questo caso la derivata si può considerare come un quoziente di differenziali.

$\gamma$)È appena necessario avvertire che alle derivate delle funzioni additive si possono generalizzare i teoremi relativi alla derivazione di una somma, di una differenza². Noi ci limiteremo qui a dare un cenno ala generalizzazione del teorema di derivazione di una funzione di funzione.

Siano $I$ ed $H$ due campi, i cui punti sono in corrispondenza biunivoca; con $\tau$ indichiamo sia i pezzi di $I$, che la loro misura; con $k$ sia i pezzi di $H$ che la loro misura. Sia $S(\tau )$ una funzione additiva dei pezzi $\mathrm {\tau }$ di $I$; poichè ad ogni pezzo $k$ di $H$ corrisponde un pezzo $\tau$ di $I$, ad ogni pezzo di $k$ di $H$ corrisponde un valore di $S(\tau )$. Cioè $\mathrm {S}$ si potrà considerare anche come funzione additiva dei pezzi $\mathrm {k}$ di $\mathrm {H}$.

La misura $\tau$ di quel pezzo $\tau$ di $I$, che corrisponde ad un pezzo $k$ di $H$ è anch'essa una funzione additiva di $k$. Supporremo che esista la sua derivata ${\frac {d\tau }{dk}}$.

Che relazione passa tra le derivate $\mathrm {{\frac {dS}{d\tau }},{\frac {dS}{dk}}}$ della $\mathrm {S}$, pensata come funzione dei $\mathrm {\tau }$ o dei $\mathrm {k}$?

Come per le funzioni di una sola variabile, si dimostra che: ${\frac {dS}{dk}}={\frac {dS}{d\tau }}{\frac {d\tau }{dk}}$, o (come si può scrivere in altro modo) $S'_{k}=\tau '_{k},$ ossia che anche nel caso attuale i calcoli coi differenziali $d\tau ,dS$, ecc. si effettuano con le stesse regole usate pei differenziali di una variabile, e si possono ripetere considerazioni analoghe a quelle del § 59, pag. 187. $\delta$) Diamo un'applicazione specialmente importante dell'ultima formola. I campi $I$ ed $H$ sieno addirittura sovrapposti; e noi conveniamo di considerarli distinti, perchè conveniamo di definire in modo differente la misura di un loro pezzo, secondo che questo pezzo è considerato come parte di $\tau$ di <math<I</math>, o come parte $k$ di $H$. Se, p. es., $I=H$ è un corpo o una lamina pesante, come misura $\tau$ di un suo pezzo potremo assumere la sua misura geometrica (area o volume), come misura $k$ il suo peso.

Se, p. es., $X(k)$ è quella funzione additiva di un suo pezzo $k$, che è uguale al prodotto del peso $k$ del pezzo considerato per l'ascissa $x$ del suo centro di gravità, la derivata $X'_{g}$ in un punto $A$ vale precisamente l'ascissa $x$ di tale punto (pag. 332), D'altra parte la derivata ${\frac {dk}{d\tau }}$ in $A$ è uguale alla densità $\rho$ in questo punto. Quindi, se noi consideriamo $X$ come funzione di $\tau$, si ha:

$k'_{\tau }=\rho$; $X'_{\tau }=k'_{\tau }X'_{k}=\rho x$.

Quindi: L'ascissa $\mathrm {x}$ del centro di gravità di un pezzo $\mathrm {\tau }$ di $\mathrm {I}$ vale il quoziente di $\mathrm {\frac {X(\tau )}{k(\tau )}}$, cioè di due funzioni additive la cui derivata vale rispettivamente $\mathrm {\rho x}$ e $\mathrm {\rho }$ (se $\mathrm {\rho }$ è la densità).

Esempio.

Sia $I$ una massa attraente con la legge di newton. Il potenziale dovuto a un suo pezzo $\tau$ in un punto esterno $M$ è quella funzione additiva di $\tau$, la cui derivata in un punto $A$ di $I$ vale ${\frac {\rho }{r}}$, se $\rho$ è la densità, $r$ la distanza $AM$.

Note

1. Si potrebbe provare che ${\frac {S(\tau )}{\tau }}$ è proprio uguale al calore di $F$ in un punto $A$ di $\tau$, se il valore di $S$ corrispondente a uno strato (pezzo limitato da due rette o piani paralleli) di $I$ tendesse a zero col tendere a zero dello spessore dello strato. Ma queste considerazione hanno importanza soltanto per quegli studii più generali, a cui abbiamo accennato, che riguardano funzioni $F$ non continue.
2. È appena da avvertire che prodotto o quoziente di due funzioni additive può non essere una funzione additiva.