Lezioni di analisi matematica/Capitolo 16/Paragrafo 101

Capitolo 16 - Estensione dei principali teoremi del calcolo differenziale

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Capitolo 16 - Estensione dei principali teoremi del calcolo differenziale
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§ 101. — Estensione dei principali teoremi
del calcolo differenziale.

) Per queste derivate si possono estendere molti teoremi di calcolo. Bisognerebbe, per restare nel campo più generale, limitare un po' il tipo di campi , per i quali si costruiscano i rapporti , che compaiono nella definizione di derivata. Questa generalità è però inutile a noi che supponiamo la derivata continua. Noi estenderemo il teorema della media. Se possiede derivata continua in ogni punto di (inclusi i punti del contorno di ), allora è compreso tra [p. 333 modifica]il limite superiore e l'inferiore dei valori della derivata nei punti di 1.

Se, p. es., è il peso del pezzo , allora è la densità media i ; e tale teorema ci dice (precisamente come nel caso delle sbarre) che la densità media di un pezzo non può superare il massimo (o il limite superiore=, nè essere inferiore al minimo o(o limite inferiore) della densità nei varii punti del pezzo considerato.

Dimostriamo, p. es., che non può essere con .. Diviso infatti in due campi parziali e , sarebbe ; cosicche

.

Poichè non può superare la più grande delle , una di queste frazioni, p. es. la , sarà non minore di . In esisterà. come si dimostra in modo analogo, un campo tale che . E così via.

È facile dare una legge di divisione dei successivi campi , ecc., in campi parziali cos+ che esista uno e un solo punto interno a tutti i campi , ecc.

La derivata di in , cioè non potrà dunque essere inferiore ad ; ciò che è assurdo, perchè è il limite superiore dei valori di tale derivata in tutto .

) Possiamo anche estendere la nozione di differenziale. Se è la derivata di , il , quando tutti i punti di tendono a un punto , o, come diremo, per , vale il valore della nel punto . Cosicchè . Potremo dunque scrivere:

,

dove tende a zero per , ossia

.

[p. 334 modifica]Il primo addendo si dirà il differenziale della , e si indicherò con . Noi porremo perciò per definizione

.

Se , se cioè coincide addirittura con la misura di , la sua derivata sarà sempre uguale a . Cosicchè il suo differenziale sarà dato dalla:

.

E la precedente equazione diventa:

, ossia .

Anche in questo caso la derivata si può considerare come un quoziente di differenziali.

)È appena necessario avvertire che alle derivate delle funzioni additive si possono generalizzare i teoremi relativi alla derivazione di una somma, di una differenza2. Noi ci limiteremo qui a dare un cenno ala generalizzazione del teorema di derivazione di una funzione di funzione.

Siano ed due campi, i cui punti sono in corrispondenza biunivoca; con indichiamo sia i pezzi di , che la loro misura; con sia i pezzi di che la loro misura. Sia una funzione additiva dei pezzi di ; poichè ad ogni pezzo di corrisponde un pezzo di , ad ogni pezzo di di corrisponde un valore di . Cioè si potrà considerare anche come funzione additiva dei pezzi di .

La misura di quel pezzo di , che corrisponde ad un pezzo di è anch'essa una funzione additiva di . Supporremo che esista la sua derivata .

Che relazione passa tra le derivate della , pensata come funzione dei o dei ?

Come per le funzioni di una sola variabile, si dimostra che: , o (come si può scrivere in altro modo) ossia che anche nel caso attuale i calcoli coi differenziali , ecc. si effettuano con le stesse regole usate pei differenziali di una variabile, e si possono ripetere considerazioni analoghe a quelle del § 59, pag. 187. [p. 335 modifica]) Diamo un'applicazione specialmente importante dell'ultima formola. I campi ed sieno addirittura sovrapposti; e noi conveniamo di considerarli distinti, perchè conveniamo di definire in modo differente la misura di un loro pezzo, secondo che questo pezzo è considerato come parte di di <math<I</math>, o come parte di . Se, p. es., è un corpo o una lamina pesante, come misura di un suo pezzo potremo assumere la sua misura geometrica (area o volume), come misura il suo peso.

Se, p. es., è quella funzione additiva di un suo pezzo , che è uguale al prodotto del peso del pezzo considerato per l'ascissa del suo centro di gravità, la derivata in un punto vale precisamente l'ascissa di tale punto (pag. 332), D'altra parte la derivata in è uguale alla densità in questo punto. Quindi, se noi consideriamo come funzione di , si ha:

; .

Quindi: L'ascissa del centro di gravità di un pezzo di vale il quoziente di , cioè di due funzioni additive la cui derivata vale rispettivamente e (se è la densità).

Esempio.

Sia una massa attraente con la legge di newton. Il potenziale dovuto a un suo pezzo in un punto esterno è quella funzione additiva di , la cui derivata in un punto di vale , se è la densità, la distanza .

Note

  1. Si potrebbe provare che è proprio uguale al calore di in un punto di , se il valore di corrispondente a uno strato (pezzo limitato da due rette o piani paralleli) di tendesse a zero col tendere a zero dello spessore dello strato. Ma queste considerazione hanno importanza soltanto per quegli studii più generali, a cui abbiamo accennato, che riguardano funzioni non continue.
  2. È appena da avvertire che prodotto o quoziente di due funzioni additive può non essere una funzione additiva.