Lezioni di analisi matematica/Capitolo 16/Paragrafo 100

by Guido Fubini

Capitolo 16 - Funzioni additive e loro derivate

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 16 - Funzioni additive e loro derivate

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§ 100. — Funzioni additive e loro derivate.

$\alpha$) Se $I$ è un intervallo, o una figura piana¹, p un solido, noi diremo che $S(\tau )$ è una funzione additiva dei pezzi $\tau$² di $\mathrm {I}$, se per ogni pezzo $\mathrm {\tau }$ di $\mathrm {I}$ esiste uno e un solo valore di $\mathrm {S}$; e se in più, quando $\mathrm {\tau }$ è somma di due punti $\mathrm {\tau ',\tau ''}$, è $\mathrm {S(\tau )=\S (\tau ')+S(\tau '')}$.

Così, se $I$ è una sbatta, o una lamina piana, o un solido pesante, il peso $m$ di un pezzo $\tau$ di $I$ è funzione additiva di $\tau$.

Così, se $I$ è una lamina, o un corpo elettrizzato, la componente, p. es., sull'asse delle $x$, dell'attrazione che un pezzo $\tau$ di $I$ esercita su un punto elettrizzato $M$ è una funzione additiva di $\tau$.

Daesame della figura composta di due soli punti materiali, la Meccanica induce il seguente teorema: Se $\mathrm {I}$ è una lamina o un corpo pesante, il peso $\mathrm {m}$ di un suo pezzo $\mathrm {\tau }$ moltiplicato per una coordinata, p. es., l'ascissa $\mathrm {x}$ del centro i gravità di $\mathrm {\tau }$ è una funzione additiva $\mathrm {X(\tau )}$ della $\mathrm {\tau }$. Cosicchè, l'ascissa $\mathrm {x}$ del centro di gravità appare come quoziente delle $\mathrm {X,m}$; entrambe funzioni additive i $\tau$.

Più avanti vedremo che la ricerca della lunghezza di una curca e dell'area di una superficie sghemba si riducono al calcolo di speciali funzioni additive. Bastino questi tempi a illustrare l'importanza di tali funzioni! $\beta$) Il seguente esempio ha per noi una specialissima importanza. Sia $z=F(x,y)$ l'equazione di un pezzo $K$ di superficie; sia $F\geq =$; sia $I$ la proiezione di $K$ sul piano $xy$.

Sia $F(x,y)$ continua. Chiamiano cilindroide la figura solida limitata da $K$, da $I$ (base del cilindroide) e dal cilindro proiettante il controno di $K$ sul controno di $I$.

Ogni pezzo $\tau$ di $I$ sarà base di un cilindroide parziale: luogo di quei punti del cilindroide inziale, che si proiettano sul piano $xy$ in pnti di $\tau$. Il volume $\mathrm {S(\tau )}$ di tale cilindroide parziale (o, se tale volume non fosse definito, il volume interno oppure il volume esterno di tale cilindroide) è una funzione additiva di $\mathrm {\tau }$.

Infatti se $\tau$ è somma dei due pezzi $\tau _{1},\tau _{2}$, allora il cilindroide parziale di base $\tau$ è somma di cilindroidi aventi per base$\tau _{1}$, oppure $\tau _{2}$. (Per i volumi interni od esterni cfr. quando si disse per l'area esterna od interna di un rettangoloide apag. 25).

$\gamma$) Se $S(\tau )$ è una funzione additiva dei pezzi $\tau$ di $I$, e se $\tau$ è la misura³ (p. es., lunghezza, area, volume, ecc.) dei pezzi $\tau$, allora piò darsi che il rapporto ${\frac {S(\tau )}{\tau }}$ tenda ad un limite finito, quando tutti i punti si $\tau$ si avvicinano a un punto $A$ di $I$. Se tale limite esiste per tutti i punti $A$ di $I$, esso è una funzione $\mathrm {F}$ delle coordinate del punto $\mathrm {A}$. (Cioè esso non è più, come $S(\tau )$, una funzione del campo $\tau$, ma soltanto una funzione delle una, due o tre coordinate del punto $A$). Se questa funzione $F$ è continua, noi la chiameremo derivata di $S$ (rispettp a $\tau$ e scriveremo $S'_{\tau }=F$. Se, p. es., $I$ è una figura pesante, e se $S(\tau )$ è il peso del pezzo $\tau$, allora $F$ è la densità nel punto $A$.

Es. I. Se $\S (\tau )$ è il volume del precedente cilindroide parziale, si dimostra (analogamente a quanto si è fatto a pag. per i rettangoloidi) che la sua derivata in un punto $A$ vale precisamente il valore in questo punto di $z=F(x,y)$

Es. II. Così sia $I$ una lamina o un corpo pesante; assumiamo come misura $\tau$ di un suo pezzo $\tau$ non già l'area o il volume di $\tau$, ma precisamente il peso $\tau$ di $\tau$⁴. Sia $X(\tau )$ quella funzione additiva di $\tau$, che è uguale al prodoto del peso $\tau$ di $\tau$ per l'ascissa $x_{\theta }$ del suo centro di gravità. La $X(\tau )=\tau x_{g}$ è una funzione additiva di $\tau$. Notiamo che ${\frac {X(\tau )}{\tau }}=x_{g}$ è compresa tra il massimo e il minimo valore che ha l'ascissa $x$ di un punto $\tau$. Quindi, se tutti i punti di $\tau$ tendono ad uno stesso punto di $A$ di $\tau$, il $\lim {\frac {X(\tau )}{\tau }}$ vale precisamente l'ascissa $x$ del punto $A$. Cioè $x$ è la derivata della nostra funzione $X(\tau )$.

Es. III. Sia $I$ una parete piana verticale di una vasca piena di acqua (un bacino di carenaggio, p. es.). La pressione che tale acqua esercita su un pezzo $\tau$ di $I$ è quella funzione additiva di $\tau$, la cui derivata in un punto $A$ di $I$ cale la distanza da $A$ al pelo libero dell'acqua stessa.

Es IV, Sia $I$ una curva del piano $xy$; supponiamo che i punti di $I$ siano in corrispondenza biunivoca con la loro proiezione sull'asse delle $x$. Assumiamo come misura $\tau$ di un pezzo $\tau$ di $I$ la lunghezza della sua proiezione sull'asse delle $x$. Se $M(x,y)$ è una funzione continua delle $x,y$ in tutta una regione contenente $I$ all'interno, allora lo $\int M(x,y)dx$ esteso a una pezzo $\tau$ di $I$ è quella funzione additiva di $\tau$, che nei punti di $I$ ha $M(x,y)$ per derivata.

Oss. È perfettamente lecito definire nel modo qui enunciato la misura $\tau$ di un pezzo $\tau$ di $I$, perchè vengono rispettate le proprietà essenziali di una misura (che un pezzo $\tau$ di $I$ somma di due pezzi $\tau ',\tau ''$ ha per misura la somma delle misure di $\tau ',\tau ''$, ecc.). (Cfr. la precedente nota a piè di pagina).

Note

1. Si potrebbero anche considerare degli $I$ che fossero un pezzo di una linea, o di una superficie qualsiasi, p. es., un arco $I$ di cerchio, o un poligono sferico $I$
2. Ci limiteremo a consideare quei pezzi $\tau$ di $I$, che posseggono una misura (p. es., lunghezza, area, volume). Per il significato delle parole: figura piana, suo contorno, ecc., cfr. l'osservazione a pag. 25. Ni ci limiteremo sempre a figure piace o solide, il cui contorno è formato da un numero finito di linee o superfici, rappresentabili con equazioni, i cui membri sono finiti e continui con le loro derivate.
3. Indichiamo quasi sempre con la stessa lettera un campo, e la sua misura.
4. Anche comunemente è molteplice il modo di definire la misura di un corpo (p. es., il volume, il peso, il prezzo di esso). In generale si può assumere come misura di $\tau$ ogni funzione additiva e positiva di $\tau _{0}$