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capitolo xvi — § 100

CAPITOLO XVI.

FUNZIONI ADDITIVE GENERALI E INTEGRALI MULTIPLI

§ 100. — Funzioni additive e loro derivate.

$\alpha$ ) Se $I$ è un intervallo, o una figura piana¹, p un solido, noi diremo che $S(\tau )$ è una funzione additiva dei pezzi $\tau$ ² di $\mathrm {I}$ , se per ogni pezzo $\mathrm {\tau }$ di $\mathrm {I}$ esiste uno e un solo valore di $\mathrm {S}$ ; e se in più, quando $\mathrm {\tau }$ è somma di due punti $\mathrm {\tau ',\tau ''}$ , è $\mathrm {S(\tau )=\S (\tau ')+S(\tau '')}$ .

Così, se $I$ è una sbatta, o una lamina piana, o un solido pesante, il peso $m$ di un pezzo $\tau$ di $I$ è funzione additiva di $\tau$ .

Così, se $I$ è una lamina, o un corpo elettrizzato, la componente, p. es., sull'asse delle $x$ , dell'attrazione che un pezzo $\tau$ di $I$ esercita su un punto elettrizzato $M$ è una funzione additiva di $\tau$ .

Daesame della figura composta di due soli punti materiali, la Meccanica induce il seguente teorema: Se $\mathrm {I}$ è una lamina o un corpo pesante, il peso $\mathrm {m}$ di un suo pezzo $\mathrm {\tau }$ moltiplicato per una coordinata, p. es., l'ascissa $\mathrm {x}$ del centro i gravità di $\mathrm {\tau }$ è una funzione additiva $\mathrm {X(\tau )}$ della $\mathrm {\tau }$ . Cosicchè, l'ascissa $\mathrm {x}$ del centro di gravità appare come quoziente delle $\mathrm {X,m}$ ; entrambe funzioni additive i $\tau$ .

Più avanti vedremo che la ricerca della lunghezza di una curca e dell'area di una superficie sghemba si riducono al calcolo di speciali funzioni additive. Bastino questi tempi a illustrare l'importanza di tali funzioni!

↑ Si potrebbero anche considerare degli $I$ che fossero un pezzo di una linea, o di una superficie qualsiasi, p. es., un arco $I$ di cerchio, o un poligono sferico $I$
↑ Ci limiteremo a consideare quei pezzi $\tau$ di $I$ , che posseggono una misura (p. es., lunghezza, area, volume). Per il significato delle parole: figura piana, suo contorno, ecc., cfr. l'osservazione a pag. 25. Ni ci limiteremo sempre a figure piace o solide, il cui contorno è formato da un numero finito di linee o superfici, rappresentabili con equazioni, i cui membri sono finiti e continui con le loro derivate.

[1] Si potrebbero anche considerare degli $I$ che fossero un pezzo di una linea, o di una superficie qualsiasi, p. es., un arco $I$ di cerchio, o un poligono sferico $I$

[2] Ci limiteremo a consideare quei pezzi $\tau$ di $I$ , che posseggono una misura (p. es., lunghezza, area, volume). Per il significato delle parole: figura piana, suo contorno, ecc., cfr. l'osservazione a pag. 25. Ni ci limiteremo sempre a figure piace o solide, il cui contorno è formato da un numero finito di linee o superfici, rappresentabili con equazioni, i cui membri sono finiti e continui con le loro derivate.

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