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prima estensione del calcolo integrale, ecc. |
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Si può verificare facilmente il nostro risultato derivando la
prima rispetto a
e poi rispetto a
. Si avrebbe:
;
e derivando quindi la
rispetto a
si ottiene lo zero.
Facciamo un cambiamento di variabili: poniamo cioè
,
;
da cui
,
.
La
funzione di
e
può dunque considerarsi come funzione di
e di
, e a loro volta funzioni di
e
.
Derivando allora la
rispetto alla
tenendo
costante, e applicando il teorema di derivazione di funzione di funzione, si ottiene
;
ossia, essendo
o
,
.
Derivando rispetto alla
, si trova
.
Poichè
, si trova
.
Cosicchè la (2), ove si ponga
, dà tutte le funzioni che soddisfano alla:
:
risultato importante, perchè riceve applicazioni in molte questioni di fisica.
Oss. Scamiando gli assi delle
e delle
si trova che la (1) si può scrivere nella forma
.
E se ne potrebbe dedurre che:
.
Questa formola sarà ritrovata in forma assai più generale in altro capitolo.