Lezioni di analisi matematica/Capitolo 14/Paragrafo 88

by Guido Fubini

Capitolo 14 - Considerazioni preliminari

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 88. — Considerazioni preliminari.

Sia $f(x,y)$ una funzione continua nei punti di un campo, che, per fissar le idee, supponiamo essere un rettangolo $R$ coi lati paralleli agli assi coordinati. Tale rettangolo $R$ contenga all'interno il segmento (parallelo all'asse delle $y$ che è definito dalle formole:

          $y=k={\text{cost.}}$          $\alpha \leq \,x\leq \,\beta$.          $(\alpha ,\beta ={\text{cost.}})$

I valori che $f(x,y)$ assume nei punti di tale segmento (lungo cui $y=$ cost.) dipendono dalla sola $x$; e costituiscono appunto una funzione della sola $x$. Io dico che l'integrale

                                                  $\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx$                              (1)

di tale funzione è una funzione continua della $\mathrm {y}$ (per quei valori di $y=k$ corrispondenti a punti interni ad $R$).

Il lettore noti l'analogia tra la definizione degli integrali (1) di $f(x,y)$ e quella delle derivate parziali della $f(x,y)$; come per calcolare $f'_{x}$ si considera la $y$ come una costante, così (1) si calcola appunto, considerando la $y$ come costante, cioè la $f(x,y)$ come funzione della sola $x$¹

Si tratta di provare che $\lim _{h=0}B=0$, ove è posto

          $B=[\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y+h)dx-\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx]$.               (2)

Il lettore troverà più avanti una dimostrazione completa. Qui ci acconteniamo di provare tale formola nell'ipotesi che $|f'_{y}|$ sia in $R$ sempre minore di una costante $h$. Questi supposto, sua ha per il teorema della media:

$|B|=\left|\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y+h)dx-\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx\right|=\left|\int _{\alpha }^{\beta }hf'_{y}(x,y+\theta h)dx\right|\leq$

$\leq \left|h\int _{\alpha }^{\beta }Hdx\right|=\left|H(\beta -\alpha )h\right|$

Quindi, per $h=0$, è $\lim B=0$ come dovevai provare.

Se noi conserviamo l'ipotesi che i punti del segmento $y={\text{cost.}}$ lungo il quale si fa l'integrazione appartengano al campo ove $f(x,y)$ è finita e continua, si potrebbe dimostrare che lo $\mathrm {\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx}$ è una funzione continua di $\mathrm {y}$, anche se $\alpha ,\beta$, anzichè costanti, sono funzioni continue di $y$

Per dimostrare tali teoremi nella sola ipotesi della continuità della $\mathrm {f(x,y)}$, basta, esteso il teor. della continuità uniforme alle funzioni di due variabili, ricrdare che $|f(x,y+h)-f(x,y)|$ si può rendere minore di $\varepsilon$ e per tutti i punti $(x,y)$, prendendo $h$ abbastanza piccolo.

Note

1. In altre parole, se $F(x,y)$ è una funzione delle $x,y$ tale che $F''_{x}=f$ sarà

   $\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx=F(\beta ,y)-F(\alpha ,y)$.