Lezioni di analisi matematica/Capitolo 11/Paragrafo 72

by Guido Fubini

Capitolo 11 - Metodo di Newton-Fourier

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 11 - Metodo di Newton-Fourier

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§ 72. — Metodo di Newton-Fourier.

α) Lemma. Se $\mathrm {AB}$ è un arco di ccurva $\mathrm {y=f(x)}$ e se $\mathrm {f''(x)}$ è finita, non è mai nulla e conserva lo stesso segno nell'arco considerato, allora l'arco $\mathrm {AB}$ è tutto interno al triangolo rettilineo $\mathrm {ABD}$ formato dalla corda $\mathrm {AB}$ e dalle tangenti in $\mathrm {A}$ e in $\mathrm {B}$ (fig. 29).

Questo teorema è geometricamente intuitivo, perchè nelle attuali ipotesi l'arco $y=f(x)$ volge la sua concavità sempre da una stessa parte . Essa si dimostra rigorosamente cosi.

Fig. 29. In due punti distinti dell'arco $AB$ le tangenti dell'arco non possono essere parallele, perchè i valori corrispondenti di $f'(x)$ sarebbero uguali; e, per il teorema di Rolle, in un punto intermedio sarebbe $f''=0$ contro l'ipotesi.

L'arco $AB$ non ha con la corda $AB$ comune (oltre ai p unti $A$, $B$) alcun altro punto $C$; perchè altrimenti per il teorema della media esisterebbe nell'arco $AC$ un punto $E$, e nell'arco $CB$ un punto $F$, in cui le tangenti all'arco sarebbero parallele ad $AB$ e quindi parallele tra di loro.

Così pure l'arco $AB$ non può avere, oltre al punto $A$, comune alcun altro punto $C$ con la tangente in $A$; altrimenti nell'arco $AC$ vi sarebbe un punto intermedio $E$, ove la tangente all'arco sarebbe parallele alla tangente in $A$.

E altrettanto dicasi per la tangente in $B$. Quindi il nostro arco, o è tutto interno al triangolo $ADB$, oppure, pure essendo interno all'angolo $A(D)B$, è posto risoetto ad $AB$ dall'altra parte di $D$. Quest'ultimo caso è però da escludersi, perchè il nostro arco deve essere interno alla striscia limitata dalle normali tirate dai punti $A$, $B$ all'asse delle $x$: e perciò l'intersezione $D$ delle due tangenti in $A$ e in $B$ è interna a tale striscia e cade rispetto alla corda $AB$ dalla stessa banda dell'arco $AB\,\,\,\,\,$ c.d.d.

β) Sia $f(x)$ una funzione finita e continua nell'intervallo da noi considearto con derivate prime e seconde finite e continue.

Fig. 30. I punti $x=a$ che la curva $y=f(x)$ ha comuni con l'asse delle $x$ sono i punti $a$ per cui $f(a)=0$, o, come si suol dire, solo le radici dell'equazione $f(x)=0$¹ (fig. 30).

Se per $x=b$, ed $x=c$ la funzione $f(x)$ assume valori di segno opposto, essa assumerà (teor. 3°, pag. 135) nell'intervallo ($b$, $c$) ogni valore intermedio e quindi anche il valore zero.

Se cioè $\mathrm {f(b)}$ e $\mathrm {f(c)}$ sono di segno opposto, nell'intervallo $\mathrm {(b,c}$ esiste almeno una radice $\mathrm {A}$ dell'equazione $\mathrm {f(x)=0}$. Questo teorema è geometricamente intuitivo; dall'ipotesi scende infatti che i punti della curva $t=f(x)$ di ascissa $b$, o di ascissa $c$ sono da banda opposta all'asse delle $x$. La curva $y=f(x)$ quindi deve incontrare almeno in un punto dell'intervallo ($b$, $c$) l'asse delle $x$.

γ) Supponiamo: 1° che nell'intervallo ($b$, $c$) la $f''(x)$ conservi un segno variabile, che quindi la curva $y=f(x)$ volga la concavità sempre da una stessa parte in tale intervallo; 2° che $f(b)$ ed $f(c)$ siano di segno opposto; 3° che nell'intervallo ($b$, $c$) esista una sola radice $a$ dell'equa<ione $f(x)=0$.

I numeri $b$, $c$ si possono considerare come valori approssimati (l'uno per difetto, l'altro per ecceddo) della radice $a$. Vogliamo trovarne dei valori più approssimati. Ricordiamo che per il precedente lemma la curva $y=f(x)$ è tutta interna al triangolo $BCD$ formato dalle tangenti $DB$, $CD$ nei punti $B$, $C$ di ascissa $b$, $c$, e della corda $BC$

Il punto $a$ cercato è dunque compreso tra i punti ove l'asse delle $x$ incontra la corda $BC$ e la spezzata $BD+DC$. Tali punti $b_{1}$, $c_{1}$ sono due valori più approssimati che $b$, $c$ al valore cercato $a$. Ripetendo per tali punti quanto si è detto per i punti $b$, $c$, troveremo due valori $b_{2}$, $c_{2}$ ancor più approssimati.

E si può dimostrare che, così continuando, si può ottenere il valore di $a$ con qualsiasi approssimazione prefissata.

δ) Il nostro procedimento geometrico si può facilmente tradurre in formole analitiche. L'equazione della corda $BC$ è ${\frac {y-f(b)}{x-b}}={\frac {f(c)-f(b)}{c-b}}$; l'ascissa della sa intersezione con l'asse delle $x$ si ottiene ponendo $y=0$, cosicchè $x={\frac {b\,f(c)-cf(b)}{f(c)-f(b)}}$.

Le tangenti di $B$ e $C$ hanno per equazione

          ${\frac {y-f(b)}{x-b}}=f'(b)$,                          ${\frac {y-f(c)}{x-c}}=f'(c)$;

ed incontrano l'asse delle $x$ rispettivamente nei punti

          $x=b-{\frac {f(b)}{y'(b)}}$,                              $x=c-{\frac {f(c)}{f'(c)}}$.

Quale di questi punti è l'intersezione dell'asse $x$ con la spezzata $BD+DC$? Evidentemente quello che appartiene all'intervallo ($b$, $c$); e se entrambi appartengono a tale intervallo, quello che è più vicino al punto già determinato ove la retta $BC$ incontra l'asse delle $x$. Se non si vogliono calcolare entrambi questi punti, si può limitarci a considerare l'intersezione con l'asse delle $x$ della tangente in quello dei punto $B$, $C$, in cui la curva volge la convessità all'asse delle $x$, ossia in cui $f''(x)$ ed $f(x)$ hanno lo stesso segno. Con un tal procedimento però spesso si ottiene un'approssimazione minore di quella ottenuta con il nostro metodo.

I punti ${\frac {bf(c)-cf(b)}{f(c)-f(b)}}$ e quello dei punti $b-{\frac {f(b)}{(f'(b)}}$, $-{\frac {f(c)}{f'(c)}}$, che noi scegliamo secondo i principii sopra esposti, costituiscono i due valori più approssimati della radice $a$ cercata.

Per es. noi sappiamo che l'equazione $x^{5}=2$ ha una, e una sola radice nell'intervallo $1$, $2$), in cui la derivata seconda di $20\,x^{3}$ di $f(x)=x^{5}-2$ ha segno costante,

Poichè (posto $b=1$, $c=2$)

${\frac {bf(c)-cf(b)}{f(c)-f(b)}}=1+{\frac {1}{31}}$,

$c-{\frac {f(c)}{f'(c)}}=2-{\frac {3}{8}}=1+{\frac {5}{8}}$, $b-{\frac {f(b)}{f'(b)}}=1+{\frac {1}{5}}$,

e di questi ultimi due punti il punto $1+{\frac {1}{5}}$ è il più vicino a $1+{\frac {1}{31}}$, la cui radice di $x^{5}=2$ è compresa tra <nath>1+\frac{1}{31}</math> e $1+{\frac {1}{5}}$.

Riapplicando a questi due numeri il nostro procedimento, si ha un'approssimazione maggiore; e, così continuando, si può dimostrare che si ottiene una approssimazione grande a piacere.

Note

1. Qui si parla delle radici dell'equasione $\mathrm {f(x)=0}$ e della curva di equazione $\mathrm {y=f(x)}$. Il lettore inesperto noti che non si parla della linea di equazione $f(x)=0$ che si scompone in rette $x={\text{cist}}$.!