Lezioni di analisi matematica/Capitolo 11/Paragrafo 73

by Guido Fubini

Capitolo 11 - Alcune osservazioni relative alla risoluzione approssimata delle equazioni algebriche

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 11 - Alcune osservazioni relative alla risoluzione approssimata delle equazioni algebriche

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§73. — Alcune osservazioni relative alla risoluzione approssimata delle equazioni algebriche.

Il metodo di Newton-Fourier serve naturalmente a calcolare con un'approssimazione grande a piacere le radici reali di un'equazione algebrica a coefficienti reali. Delle radici complesse, o delle equazioni a coefficienti complessi qui non ci occupiamo, perchè abbiano già visto (§ 17, δ, pag. 55) essere il loro studio riducibile alla ricerca delle radici reali di un'equazione a coefficienti reali.

Sia dunque $f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}=0$      (1) un'equazione algebrica a coefficienti reali. La ricerca delle sue radici reali equivale alla ricerca delle intersezioni della curva reale $C$ definita dall'equazione

                                                  $y=f(x)$                                                  (2)

con l'asse delle $x$¹. Si può senz'altro supporre che la (1) non abbia radici multiple (a questo caso di possiamo ridurre coi metodi del § 64); cosicchè (2) non sarà in alcun modo tangente all'asse delle $x$. Possiamo anche supporre che le $f(x)=0$, $f''(x)=0$ non abbiano radici comuni; perchè la ricerca di queste radici equivale a risolvere l'equazione ottenuta uguagliando a zero il massimo comun divisore $\varphi (x)$ dekke $f(x)$, $f''(x)$; e, ammesso anche che $\varphi (x)$ non sia una costante, che cioè tale equazione $\varphi (x)=0$ possegga radici (caso che si presenterà soltanto per equazioni di tipo molto particolare), ne verrà che alcune delle radici della $f(x)=0$ si ottengono risolvendo la equazione più semplice (perchè di grado inferiore) $\varphi (x)=0$. Le altre radici poi saranno le radici dell'altra più semplice equazione che si ottiene uguagliando a zero il polinomio quoziente della divisione di $f(x)$ per $\varphi (x)$.

Supposto dunque che $f(x)=0$, $f''(x)=0$ non abbiano radici comuni, ogni radice della $f(x)=0$ apparterrà a un interno dove $f''(x)$ conserva sempre lo stesso segno, cioè dove la (2) volge la convessità, o la concavità da una stessa parte. E ad un tale intorno sarà dunque applicabile il metodo di Newton-Fourier.

La più grave difficoltà consiste dunque in determinare due valori approssimati (uno per eccesso, uno per difetto) per ogni radice. Al § 23, β, pag. 78. abbiamo esposto un metodo semplice in teoria (ma che in pratica richiede calcoli troppo lunghi) per una simile determinazione. Altri svariatissimi metodi furono inventati a tale scopo. Ma al tecnico basteranno le seguenti due osservazioni:

1° Valori approssimati di ogni radice sono nei casi pratici suggeriti dallo stesso problema che si deve risolvere.

2° Valori approssimati si possono dedurre disegnando effettivamente la (2) e trovandone le intersezioni con l'asse delle $x$. Anzi le teorie fin qui svolte agevolano di molto tale disegno e possono dare indicazioni preziose (cfr. l'esempio della curva $Y=X^{3}+pX+q$ studiato all'esempio 10° del § 71). Del resto esistono strumenti che possono disegnare tali curve. L'integrafo di Abdank-Abakanowicz (cfr. l'ultimo Capitolo) permette, per es., di passare dal disegno della linea $y=f^{(n)}(x)=a_{0}\lfloor {n}$ (che è una retta parallela all'asse delle $x$) successivamente alle curve

$y=f^{(n-1)}(x)$; $y=f^{(n-2)}(x)$; ..... ; $y=f'(x)$; $y=f(x)$.

(cfr. la nota a pag. 51, § 15, per indicazioni bibliografiche relative al problema qui esaminato).

Note

1. Noto che il metodo di Newton-Fourier sarebbe applicabile al problema più generale di calcolare le intersezioni di due curve qualsiasi.