Lezioni di analisi matematica/Capitolo 11/Paragrafo 73

Capitolo 11 - Alcune osservazioni relative alla risoluzione approssimata delle equazioni algebriche

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Capitolo 11 - Alcune osservazioni relative alla risoluzione approssimata delle equazioni algebriche
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§73. — Alcune osservazioni relative alla risoluzione approssimata delle equazioni algebriche.


Il metodo di Newton-Fourier serve naturalmente a calcolare con un'approssimazione grande a piacere le radici reali di un'equazione algebrica a coefficienti reali. Delle radici complesse, o delle equazioni a coefficienti complessi qui non ci occupiamo, perchè abbiano già visto (§ 17, δ, pag. 55) essere il loro studio riducibile alla ricerca delle radici reali di un'equazione a coefficienti reali.

Sia dunque       (1) un'equazione algebrica a coefficienti reali. La ricerca delle sue radici reali equivale alla ricerca delle intersezioni della curva reale definita dall'equazione

                                                                                                    (2)

con l'asse delle 1. Si può senz'altro supporre che la (1) non [p. 238 modifica]abbia radici multiple (a questo caso di possiamo ridurre coi metodi del § 64); cosicchè (2) non sarà in alcun modo tangente all'asse delle . Possiamo anche supporre che le , non abbiano radici comuni; perchè la ricerca di queste radici equivale a risolvere l'equazione ottenuta uguagliando a zero il massimo comun divisore dekke , ; e, ammesso anche che non sia una costante, che cioè tale equazione possegga radici (caso che si presenterà soltanto per equazioni di tipo molto particolare), ne verrà che alcune delle radici della si ottengono risolvendo la equazione più semplice (perchè di grado inferiore) . Le altre radici poi saranno le radici dell'altra più semplice equazione che si ottiene uguagliando a zero il polinomio quoziente della divisione di per .

Supposto dunque che , non abbiano radici comuni, ogni radice della apparterrà a un interno dove conserva sempre lo stesso segno, cioè dove la (2) volge la convessità, o la concavità da una stessa parte. E ad un tale intorno sarà dunque applicabile il metodo di Newton-Fourier.

La più grave difficoltà consiste dunque in determinare due valori approssimati (uno per eccesso, uno per difetto) per ogni radice. Al § 23, β, pag. 78. abbiamo esposto un metodo semplice in teoria (ma che in pratica richiede calcoli troppo lunghi) per una simile determinazione. Altri svariatissimi metodi furono inventati a tale scopo. Ma al tecnico basteranno le seguenti due osservazioni:

1° Valori approssimati di ogni radice sono nei casi pratici suggeriti dallo stesso problema che si deve risolvere.

2° Valori approssimati si possono dedurre disegnando effettivamente la (2) e trovandone le intersezioni con l'asse delle . Anzi le teorie fin qui svolte agevolano di molto tale disegno e possono dare indicazioni preziose (cfr. l'esempio della curva studiato all'esempio 10° del § 71). Del resto esistono strumenti che possono disegnare tali curve. L'integrafo di Abdank-Abakanowicz (cfr. l'ultimo Capitolo) permette, per es., di passare dal disegno della linea (che è una retta parallela all'asse delle ) successivamente alle curve

; ; ..... ; ; .

(cfr. la nota a pag. 51, § 15, per indicazioni bibliografiche relative al problema qui esaminato).

Note

  1. Noto che il metodo di Newton-Fourier sarebbe applicabile al problema più generale di calcolare le intersezioni di due curve qualsiasi.