Lezioni di analisi matematica/Capitolo 11/Paragrafo 71

Capitolo 11 - Concavità, convessità, flessi

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§ 71 — Concavità, convessità, flessi.


Sia definita in un intervallo, a cui è interno il punto ; e possegga la infinite e continue derivate

Fig. 27. di cui avremo bisogno (fig. 27 e 28)). (Basterebbe supporle finite e determinate). [p. 231 modifica]Consideriamo i punti , della curva, aventi per ascissa ed , e la retta tangente in . Sia il punto di tale retta tangente, che ha per ascissa . L'ordinata di sarà ; quella di sarà , perchè i punti , giacciono sulla curva .

Fig. 28. Se è l'ordinata di , il coefficiente angolare della retta è

.


Ma è tangente in alla ; il suo coefficiente angolare è perciò . E si ha quindi

.


Donde, risolvendo rispetto ad , si ha che l'ordinata di vale . Quindi la differenza

(ordinata di ) (ordinata di )

; (1)

,

come si riconosce tosto in virtù del teorema della media di Lagrange,

Distinguiamo ora parecchi casi:

1° La sia in crescente. In tal caso

[p. 232 modifica]ha (per sufficientemente piccolo) il segno di , ossia il segno di . E la (1) è perciò positiva. Quindi:

Se è crescente per , la curva in un intorno abbastanza piccolo di rimane al disopra della sua tangente nel punto ; ciò che si enuncia dicendo che volge la concavità verso l'alto.

2° In modo simile si prova che

Se è decrescente per , la curva in un intorno abbastanza piccolo di rimane al disotto della sua tangente nel punto ; ciò che si enuncia dicendo che essa volge la concavità verso il basso.

3° Se ha per un massimo o un minimo ha per sufficientemente piccolo un segno costante, che non varia cambiando il segno di . Quindi la (1) ha un segno che cambia, mutando il sengo di .

Se ha per un massimo o un minimo, la curva attraversava la sua tangente nel punto ; ciò che si enuncia dicendo che il punto è un punto flesso per la curva . (Cfr., p. es., la fig. 13, a pag. 159).

Se segue che in un punto di flesso l'angolo che l'asse delle forma con la tangente della curva ha una valore massimo o minimo. Se dunque andiamo da un punto posto a sinistra ad un punto posto a destra del flesso, l'angolo , nei casi più comuni, o diminuisce per poi aumentare, oppure aumenta per poi diminuire. In una parola, quando si cammina, attraversando il flesso, l'angolo da crescente diventa decrescente, o viceversa. In una parola cambia il verso in cui gira la direzione della retta tangente.

Ricordo che negli enunciati precedenti la frase « verso l'alto » [basso] è scritta invece della: « verso la direzione positiva [negativa] dell'asse delle ».

Se, p. es., , allora è crescente per . Se , allora è decrescente per ; se , , allora ha un massimo o un minimo per .

Dal precedente teorema si deduce quindi in particolare:

Se , la curva volge in la concavità verso l'alto; se essa volge in la concavità verso il basso; infine, se , , la curva ha un flesso nel punto .

Oss. Ricordiamo che, mentre in un punto di flesso è , può darsi benissimo che sia un punto di flesso; e ciò perchè, come già osservammo, può in un punto essere nulla la derivata di , senza che in tale punto abbia un massimo o un minimo.

In un punto della curva ordinata , anziché dire che [p. 233 modifica]la concavità (o la convessità) sono volte verso il basso, si suol dire che in tale punto la curva volge la concavità o convessità) verso l'asse delle . La stessa locuzione si usa in un punto di ordinata negativa per dire che la concavità (o convessità) sono volte verso l'alto. Dunque: Una curva volge in un suo punto (di ordinata differente da zero) la concavità (convessità) verso l'asse delle se ed hanno ivi segno contrario (ugual segno), ossia se è negativo (positivo)..

Esempio.


Si studii l'andamento della curva

Ris. Posto , (ciò che equivale, quando si considerino , come nuove coordinate, a fare una traslazione parallela all'asse delle ), si avrà

,

ossia , dove , sono costanti facili a determinarsi, dipendenti soltanto dalle , , . I massimi e minimi di si ottengono risolvendo la donde

Se non vi sono nè massimi nè minimi e la è sempre crescente (perchè dappertutto). Se invece , sostituendo il valore trovato di in , si ottiene . Se , questa derivata è nulla, poichè , il punto trovato non è un punto nè di massimo, nè di minimo.

Rimane dunque il solo caso di . In tal caso

per . Questo punto è un punto di minimo.

per . Questo punto è un punto di massimo.

A sinistra del punto di massimo la funzione (che per tende a ) è crescente (come si riconosce [p. 234 modifica]verificando ); poi decresce fino al punto di minimo, per poi crescere di nuovo tendendo a per .

Per trovare i flessi si deve risolvere la .

Se ne deduce , il quale è certo un flesso, perchè .

Con la si ritorna all'antica variabile .

L'allievo illustri col disegno l'andamento dalle curva in tutti i casi (, , ) anche per qualche valore numerico in particolare delle <, , .

Il lettore veda in quanti punt inei varii casi la nostra curva incontra l'asse delle : punti, che saranno le radici reali dell'equazione 1 . E confronti coi risultati del § 10, esaminando a quali disuguaglianze le , soddisfano nei varii casi,


Applicazione.


Sia lo spazio percorso da un punto mobile su una retta all'istante . Come si può, dall'esame della curva (che viene spesso tracciata automaticamente in casi pratici, come ad esempio nel varo di una nave) determinare in quali istanti la velocità di raggiunge il massimo o il minimo valore?

Ris. Basta determinae quali valori di , a cui corrisponde un flesso della nostra curva.

Note

  1. Se il valore massimo della è negativo, la nostra curva incontra in un solo punto l'asse delle . Un risultato simile si ha se il valore minimo della è positivo. In tali casi la nostra equazione ha una sola radice reale. Se il valore minimo di è negativo, quello massimo è positivo, vi sono tre radici reali poste rispettivamente negli intervalli

    , , .