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numeri reali

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siderare come radice $n^{esima}$ della $x$. Salvo però avvertenza contraria, col simbolo ${\sqrt[{n}]{x}}$ indicheremo sempre la radice positiva.

Se $n$ è dispari, ${\sqrt[{n}]{x}}$ ha sempre uno e uno solo significato.

Secondo tali convenzioni non si parlerà mai di una potenza $x^{\frac {m}{n}}$, quando $x$ è negativo, e dei due numeri interi $m$, $n$ il secondo è pari. Nè parleremo mai di una potenza $x^{p}$ se $x$ è negativo, $p$ è irrazionale.

Se $n$ è un numero negativo, poniamo $x^{n}={\frac {1}{x^{-n}}}$.

Vale anche nel caso attuale la formola

$x^{p}x^{q}=x^{p+q}$

in tutti i casi in cui i simboli $x^{p}$, $x^{q}$ hanno un significato.

$\theta$) Se tre numeri $a$, $x$, $y$ sono legati dalla $a^{x}=y$, noi diremo che $x$ è il logaritmo di $y$ in base $a$, e scriveremo $x=\log _{a}{y}$. La base $a$ si suppone positiva e quasi sempre maggiore di 1 (anzi assai spesso uguale a 10). Si dimostra:

1° Ogni numero positivo $y\neq 0$ ha un logaritmo e uno solo, che è uguale a zero per $y=1$, è uguale ad 1 per $y=a$, e che cresce (se $a>1$) al crescere di $y$. I numeri negativi non hanno logaritmo.

2° Se $b\neq 1$, allora $\log _{a}{y}=\log _{a}{b}\log _{b}{y}$.

3° ${\text{Log}}_{a}{(y_{1}y_{2})}=\log _{a}{y_{1}}+\log _{a}{y_{2}}$

$\log _{a}{\frac {y_{1}}{y_{2}}}=\log _{a}{y_{1}}-\log _{a}{y_{2}}$;

$\log _{a}{(y_{1}^{m})}=m\log _{a}{y_{1}}$.

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