Le operazioni del compasso geometrico e militare (Favaro)/Operazione XXXI
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COME SI POSSA COSTITUIRE QUAL SI VOGLIA FIGURA REGOLARE EGUALE
AD OGN’ALTRA IRREGOLARE, MA RETTILINEA, FIGURA PROPOSTA.
Operazione XXX.
La presente operazione è non meno utile che curiosa, insegnandoci il modo, non pure di riquadrare tutte le superficie irregolari, ma di ridurle o in cerchio o in qual si voglia altra figura regolare. E perché ogni rettilineo si risolve in triangoli, quando noi sapremo costituire un quadrato eguale a qual si voglia triangolo, costituendo noi separatamente quadrati particolari eguali a ciaschedun triangolo ne i quali il rettilineo dato si risolve, e poi, con l’operazione X riducendo tutti questi quadrati in un solo, sarà, come è manifesto, ritrovato il quadrato eguale al proposto rettilineo; il qual quadrato col mezo delle Linee Tetragoniche potremo ad arbitrio nostro convertire in un cerchio, in un pentagono, o in altra figura rettilinea regolare. Si è dunque la resoluzione del presente quesito ridotta a dover noi trovare un quadrato eguale a qual si voglia triangolo proposto; il che con modo facilissimo si averà dal lemma seguente.
LEMMA PER LE COSE DETTE DI SOPRA.
Operazione XXXI.
Siaci dunque proposto di dover costituire un quadrato eguale al dato triangolo ABC. Pongansi da parte due linee ad angoli retti DE, FG: dipoi con un compasso da quattro punte, che da una parte apra il doppio dell’altra, fermata nell’angolo A una delle maggiori aste, slarghisi l’altra sin che, girata intorno, rada la linea opposta BC; dipoi voltando il compasso, notisi con le aste più brevi la distanza FH, che sarà la metà della perpendicolare cadente dall’angolo A sopra il lato opposto BC. Il che fatto, prendasi pure con le maggiori aste la linea BC,
la quale si trasporti in FI; e fermata una delle maggiori aste nel punto I, slarghisi l’altra sino al punto H; e volgendo il compasso, senza stringerlo o allargarlo, segnisi con le punte della metà la distanza IK; e fermata una di queste punte in K, taglisi con l’altra la perpendicolare FG nel punto L: ed averemo la linea LF, lato del quadrato eguale al triangolo ABC.
Ma notisi che, se bene aviamo messa questa operazione fatta linealmente senza lo Strumento, non è però che sopra lo Strumento ancora non si possa facilissimamente ritrovare. Imperò che, quando vorremo ridurre qualunque triangolo in quadrato, come, per essempio, il triangolo ABC, allora, presa dall’angolo A la perpendicolare cadente sopra il lato opposto BC, considereremo sopra la scala Aritmetica quanti punti contenga, e trovato contenerne, v. g., 45, applicheremo questa distanza trasversalmente al 45 dalle Linee Geometriche;
pigliando poi la metà della linea BC, considereremo parimente quanti punti della medesima scala Aritmetica essa comprenda, e trovato contenerne, per essempio, 37, piglieremo trasversalmente dalle Linee Geometriche la distanza tra essi punti 37; la quale ci darà la linea LF, il cui quadrato sarà eguale al triangolo ABC.