Le operazioni del compasso geometrico e militare/Operazione XXXII

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Galileo Galilei - Le operazioni del compasso geometrico e militare (1606)

Operazione XXXII

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Operazione XXXI

Delle operazioni del quadrante

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DELLE LINEE AGGIUNTE PER LA QUADRATURA DELLE PARTI DEL CERCHIO E DELLE FIGURE CONTENUTE DA PARTI DI CIRCUNFERENZE O DA LINEE RETTE E CURVE INSIEME.

Restano finalmente le due Linee Aggiunte, così dette perché aggiungono alle Linee Tetragoniche quello che in esse potria desiderarsi, cioè il modo di riquadrare le porzioni del cerchio e le altre figure che nel titolo si sono dette e più distintamente di sotto si esplicheranno. Sono queste linee segnate con due ordini di numeri, de i quali lo esteriore comincia dal punto segnato con questa nota, $\partial$ seguitando poi li numeri 1, 2, 3, 4, sino in 18; l’altro ordine interiore comincia da questo segno $\bot \top$ , seguitando poi 1, 2, 3, 4, etc., pur sino a 18: col mezo delle quali linee potremo primamente riquadrare qual si voglia porzione di cerchio propostaci, la quale però non sia maggior di mezo cerchio. E l’uso, acciò meglio s’intenda, con l’essempio s’esplicherà.

Vogliamo, v. g., trovare il quadrato eguale alla porzione del cerchio ABC.

Dividasi la sua corda AC nel mezo, nel punto D, e presa con un compasso la distanza AD, s’accomodi, aprendo lo strumento, alli punti segnati

\partial \partial

; e lasciato lo strumento in tale stato, prendasi l’altezza della porzione, cioè la linea DB, e veggasi a quale de i punti dell’ordine esteriore tale altezza s’accomodi, che sia, per essempio, alli punti segnati 2.2: il che fatto, doviamo con un compasso prender subito l’intervallo tra li punti 2.2 dell’ordine interiore, e sopra una linea di questa grandezza si deve formare il quadrato; che sarà eguale alla porzione ABC. E quando avessimo una superficie contenuta da due porzioni di cerchio simile alla presente figura ABCD, potremo facilmente ridurla in quadrato tirando la corda AC, dalla quale essa figura in due porzioni di cerchio vien divisa; dipoi, per la regola posta di sopra, si troveranno due quadrati eguali alle due porzioni separate, e questi, con l’intervento dell’operazione X, si ridurranno in un solo: e sarà tutto il fatto.

E con non dissimile operazione potrassi riquadrare ancora il settore del cerchio: perché tirata la corda sotto la sua circonferenza sarà tagliato in una porzione di cerchio ed in un triangolo; le quali due parti, per le cose di sopra insegnate, potranno facilmente ridursi in due quadrati, e quelli poi in un solo.

Resta finalmente che mostriamo come le medesime linee ci possin servire per quadrare la porzione maggiore di mezo cerchio, il trapezio contenuto da due rette e due curve, simile a quello della figura appresso ABCD, e la lunula simile alla X

; le quali tutte operazioni hanno la medesima resoluzione. Per ciò che, quanto alla porzione maggiore del cerchio, se noi quadreremo la rimanente porzione minore, al modo di sopra insegnato, e tale quadrato caveremo dal quadrato eguale a tutto ’l cerchio, il quadrato eguale al rimanente sarà ancora, com’è manifesto, egual alla maggior porzione del cerchio. Parimente, di tutta la porzione BAFDC trovatone il quadrato eguale, e da esso trattone il quadrato eguale alla porzione AFD, il quadrato rimanente pareggerà il trapezio. E similmente procedendo nella lunula X, tirata la comune corda delle due porzioni di cerchio, si prenderanno separatamente i quadrati ad esse porzioni eguali; la differenza de i quali sarà il quadrato eguale alla lunula. Come poi delli due quadrati proposti si possa trovare la differenza ridotta in un altro quadrato, si è di sopra, nell’operazione XI, con l’intervento delle Linee Geometriche, dichiarato.