La geometria non-euclidea/Nota I/Deduzione statica della trigonometria piana
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DEDUZIONE STATICA DELLA TRIGONOMETRIA PIANA.
§ 11. Vediamo finalmente come sia possibile invertire la questione: data cioè la legge di composizione delle forze dedurre le relazioni fondamentali della trigonometria.
Perciò osserviamo che la intensità R della risultante di due forze [P] uguali e perpendicolari ad un asse AA' = 2 b, sarà in generale funzione di P e b: denotando con fi (P, b) questa funzione, avremo:
R = fi(P, b),
o, più semplicemente(169):
R= P. fi (b).
D'altra parte nel § 9 fummo condotti alla seguente espressione di R:
cos beta
R = 2 P — — — — — — — — — .
sen alfa
Eliminando fra questa e la precedente R e P, si ricava:
cos beta
fi (b) = 2 —————————
sen alfa
Nota dunque l'espressione analitica di fi (b), la formula ottenuta porgerà una relazione fra lati ed angoli di un triangolo rettangolo.
Per determinare fi (b) è necessario stabilire la relativa equazione funzionale. Perciò si applichino perpendicolarmente alla retta AA' quattro forze uguali P1, P2, P3, P4, in modo che i punti di applicazione di P1, P4, distino fra loro di 2 (a + b) e quelli di P2 e P3 di 2(b – a). 
Potremo determinare la risultante R di queste quattro forze in due modi diversi.
1°) Componendo P1 con P2 e P3 con P4, si ottengono due forze R1, R2, d'intensità:
P. fi(a);
componendo R1 con R2 otterremo:
R= P. fi (a) . fi (b).
2°) Componendo P1 con P4 si ottiene una forza d'intensità:
P. fi (b + a);
componendo P2 con P3 si ottiene un'altra forza d'intensità:
P. fi (b – a).
Componendo finalmente queste due risultanti parziali si ottiene:
R= P. fi (b + a) + P. fi (b – a).
Dalle due espressioni di R si ricava l'equazione funzionale a cui soddisfa fi (b):
(2) fi (b) . fi (a) = fi (b + a) + fi (b – a).
Questa equazione, ponendo fi (b) = 2ƒ(b), s'identifica con quella incontrata al § 6 trattando la composizione delle forze concorrenti.
Il metodo seguito per ottenere la (2) è dovuto a D'ALEMBERT1: se però si suppongono a e b uguali fra loro e si osserva che fi (o) = 2, si ricade in un'altra equazione:
(3) [fi (x)]2 = fi (2x) + 2,
incontrata anteriormente da Foncenex, trattando il problema dell'equilibrio della leva2.
§ 12. Il problema statico della composizione delle forze è ridotto all'integrazione di un'equazione funzionale.
Foncenex, che fu il primo a trattarlo così3, ritenne essere fi (x) = costante l'unica soluzione della (3), avendo la costante, come facilmente si verifica, il valore numerico 2. Successivamente Laplace e D'ALEMBERT integrarono la (3), ottenendo:
[vedi formula 191]
dove c è una costante oppure una funzione qualsiasi, che assume lo stesso valore mutando x in 2 x4.
La soluzione di Laplace e D'ALEMBERT, applicata al problema statico del precedente §, conduce poi ad escludere il caso in cui c sia funzione di x; inoltre, essendo inamissibili per c i valori del tipo a + ib, con a e b diversi da zero, avremo tre casi possibili, a seconda che c è reale, immaginario puro, infinito5. Corrispondentemente a questi tre casi abbiamo tre leggi possibili per la composizione delle forze e conseguentemente tre tipi distinti di relazioni fra i lati e gli angoli di un triangolo. Questi risultati possono raccogliersi nella seguente tabella, ove con k s’indica un numero essenzialmente reale e positivo.
[vedi tabella 192.png]
CONCLUSIONE. La legge di composizione delle forze perpendicolari ad una retta caratterizza dunque, in un certo senso, le relazioni che intercedono fra i lati e gli angoli d'un triangolo e perciò le proprietà geometriche del piano e dello spazio.
Questo fatto fu segnalato e messo in evidenza da A. GENOCCHI [1817-1889] in alcuni scritti importantissimi6, ai quali rimandiamo il lettore per tutte le notizie storiche e bibliografiche che interessano l'argomento.
- ↑ «Opuscules mathématiques.», t. VI, p. 371 [1779].
- ↑ Cfr. la citata memoria di Foncenex, p 319-22.
- ↑ Altrove [§ 24], parlando dello scritto sulla meccanica di Foncenex, si disse che Lagrange ne fu l'ispiratore, se non l'autore. Questa opinione, accolta da GENOCCHI e da altri geometri, risale a DELAMBRE. Ecco come si espresse l'illustre biografo di Lagrange. «Il [Lagrange] fournissait à Foncenex la partie analytique des ses mémoires en lui laissant le soin de développer les nemens sur lesquels portaient ses formules. En effet, on remarque déja dan ces mémoires [di Foncenex] cette marche purement analytique, qui depuis a fait le caractère des grandes productions de Lagrange. Il avait trouvé une nouvelle théorie du levier.» — Notice sur la vie et les ouvrages de M. le Comte Lagrange; Mém. Inst. de France, classe Math. et Phy., t. XIII, p. XXXVj [1812].
- ↑ Cfr. D'ALEMBERT: «Sur les principes de la Mécanique»; Mém. de l'Ac. des Sciences de Paris [1769]. — Laplace: «Recherches sur l'intégration des équations différentielles, etc.»; Mém. Ac. Sciences de Paris (Savants étrangers), t. VII [1773]. — Oeuvres de Laplace, t. VIII, p. 106-107.
- ↑ A questo risultato si può giungere direttamente integrando la (2), o, ciò che fa lo stesso, la (1) del § 6. Si vegga, in proposito, il metodo elementare usato da CAUCHY per determinare la ƒ(a) soddisfacente alla (1): Oeuvres de Cauchy, IIe serie, t. III, p. 106-113.
- ↑ Uno di essi è la memoria citata a nota 166, l'altro, che risale al 1869, ha per titolo: «Dei primi principii della meccanica e della geometria in relazione al postulato d'Euclide.»; Annali della Società italiana delle Scienze, (3), t. II, p. 153-89.