Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Costruzione della curva di terz'ordine determinata da nove punti

by Luigi Cremona

Art. 12. Costruzione della curva di terz'ordine determinata da nove punti

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 12. Costruzione della curva di terz'ordine determinata da nove punti

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Art. XII.

Costruzione della curva di terz’ordine determinata da nove punti.

65. Il teorema generale (50) per $n=2$, $n'=1$, suona così:

Dato un fascio di coniche, proiettivo ad una stella data, il luogo de’ punti in cui i raggi della stella segano le corrispondenti coniche è una curva di terz’ordine (o cubica) passante pei quattro punti comuni alle coniche e pel centro della stella.

Se $o$ è il centro della stella, la tangente in $o$ alla cubica è il raggio corrispondente a quella conica (del fascio) che passa per $o$.

Se $a$ è uno de’ punti-base del fascio di coniche, la tangente in $a$ alla cubica è la retta che nel punto medesimo tocca la conica corrispondente al raggio $oa$ (51, a).

I teoremi inversi del precedente si ricavano da quello del n.° 54:

1.° Fissati ad arbitrio in una cubica quattro punti $abcd$, ogni conica descritta per essi sega la cubica in due punti $mm'$; la retta $mm'$ passa per un punto fisso $o$ della cubica medesima. Le coniche per $abcd$ e le rette per $o$ formano due fasci projettivi. Il punto $o$ dicesi opposto ai quattro punti $abcd$.

2.° Fissati ad arbitrio in una cubica tre punti $abc$ ed un altro punto $o$, ogni retta condotta per $o$ sega la curva in due punti $mm'$; la conica descritta per $abcmm'$ passa per un altro punto fisso $d$ della cubica. Le coniche per $abcd$ e le rette per $o$ si corrispondono proiettivamente.

66. Siano ora dati nove punti $abcdefghi$ e si voglia costruire la curva di terz’ordine da essi determinata, mediante due fasci projettivi, l’uno di coniche, l’altro di rette. Per formare le basi de’ due fasci sono necessari cinque punti: ma uno fra essi (57) non può essere assunto ad arbitrio fra i punti dati, bensì solamente gli altri quattro.

Secondo che il punto incognito si attribuisce al fascio di rette o al fascio di coniche, si hanno due diversi modi di costruire la curva di terz’ordine, i quali corrispondono ai due teoremi (65, 1.°, 2.°). Noi qui ci limitiamo al solo primo modo di costruzione, che è dovuto al sig. Chasles¹.

Imaginiamo le cinque coniche circoscritte al quadrangolo $abcd$ e passanti rispettivamente per $e$, $f$, $g$, $h$, $i$. Il sistema di queste cinque coniche si può rappresentare col simbolo:

$(abcd)(e,f,g,h,i).$

Si tratta dunque di trovare un punto $o$ tale che il sistema di cinque rette

$o(e,f,g,h,i)$

sia projettivo al sistema delle cinque coniche. Siccome quest’ultimo sistema è projettivo a quello delle tangenti alle coniche nel punto $a$ (46), così l’attuale problema coincide con uno già risoluto (62, 64). Determinato il punto $o$ opposto ai quattro $abcd$, sono determinati i fasci generatori; e con ciò la quistione è risoluta.

67. Suppongansi ora due cubiche individuate da due sistemi di nove punti, fra i quali ve ne siano quattro $abcd$ comuni alle due curve. Queste si segheranno in altri cinque punti che individuano una conica. Questa conica può essere costruita senza conoscere quei cinque punti, cioè senza descrivere le due cubiche.

Si consideri il fascio delle coniche circoscritte al quadrangolo $abcd$; una qualunque di esse sega la prima cubica in due punti $m\,n$ e la seconda cubica in due altri punti $m'n'$. Le rette $mn$, $m'n'$ incontrano nuovamente le cubiche in due punti fissi $o$, $o'$ che sono gli opposti ai dati $abcd$, rispetto alle due cubiche medesime. Variando la conica, le rette $omn$, $o'm'n'$ generano due stelle projettive al fascio di coniche, epperò projettive fra loro. I raggi corrispondenti di queste stelle si segano in punti il cui luogo è una conica passante per $o$, $o'$ ed anche pei cinque punti incogniti comuni alle due cubiche. Essa è dunque la conica domandata.

(a) Di questa conica si conoscono già due punti $o$, $o'$; altri tre si possono dedurre dalle tre coppie di lati opposti del quadrangolo $abcd$, considerate come coniche speciali del fascio. Infatti: siano $m$, $n$ i punti in cui la prima cubica è incontrata nuovamente dalle rette $bc$, $ad$; ed $m'$, $n'$ quelli in cui queste medesime rette segano la seconda cubica. Le rette $mn$, $m'n'$ sono due raggi corrispondenti delle due stelle projettive, i cui centri sono $o$, $o'$; dunque il loro punto comune appartiene alla conica richiesta. Analogamente dicasi delle altre due coppie di lati opposti $(ca,bd)$, $(ab,cd)$.²

Di qui segue che, de’ nove punti comuni a due cubiche, cinque qualunque individuano una conica la quale passa pel punto opposto agli altri quattro, rispetto a ciascuna delle cubiche³.

(b) Siano $abcd$, $a'b'c'd'$ otto punti comuni a due cubiche; $o$, $o'$ i punti opposti ai due sistemi $abcd$, $a'b'c'd'$, rispetto alla prima cubica. La retta $oo'$ sega questa cubica in un terzo punto $x$. Dalla definizione del punto opposto segue che le coniche individuate dai due sistemi $abcdo'$, $a'b'c'd'o$ passano entrambe per $x$. Dunque $x$ è il nono punto comune alle due cubiche⁴.

(c) Se $abcd$ sono quattro punti di una cubica, il loro punto opposto $o$ può essere determinato così. Siano $m$, $n$ i punti in cui la curva è incontrata dalle rette $ab$, $cd$; la retta $mn$ segherà la curva medesima in $o$. Se i punti $abcd$ coincidono in un solo $a$, anche $m$, $n$ coincidono nel punto $m$ in cui la cubica è segata dalla tangente in $a$; ed $o$ diviene l’intersezione della curva colla tangente in $m$. Dunque, se (39, b) $m$ si chiama il tangenziale di $a$ ed $o$ il tangenziale di $m$ ossia il secondo tangenziale di $a$, si avrà:

Se una conica ha un contatto quadripunto con una cubica, la retta che unisce gli altri due punti di segamento passa pel secondo tangenziale del punto di contatto.

Da ciò segue immediatamente che:

La conica avente un contatto cinquipunto con una cubica incontra questa sulla retta congiungente il punto di contatto al suo secondo tangenziale⁵.

(d) Dai teoremi (b) e (c) si raccoglie che, se due cubiche hanno fra loro due contatti quadripunti ne’ punti $a$, $a'$, il nono punto di intersezione $x$ è in linea retta coi secondi tangenziali $o$, $o'$ de’ punti di contatto $a$, $a'$. Se $a$, $a'$ coincidono, anche $o'$ coincide con $o$ ed $x$ è il suo tangenziale, cioè il terzo tangenziale di $a$; dunque:

Tutte le cubiche aventi un contatto ottipunto con una data cubica in un medesimo punto, passano pel terzo tangenziale del punto di contatto⁶.

(e) Il teorema (45, b) applicato ad una curva del terz’ordine suona così:

Se una cubica è segata da una curva dell’ordine $n$ in $3n$ punti, i tangenziali di questi giacciono tutti in un’altra curva dell’ordine $n$.

Donde segue immediatamente (44):

Le coniche aventi un contatto cinquipunto con una data cubica ne’ punti in cui questa è segata da una curva dell’ordine $n$, segano la cubica medesima in $3n$ punti situati in un’altra curva dell’ordine $n$.

Ed anche:

Se una conica ha un contatto cinquipunto con una cubica in $a$ e la sega in $b$, e se $a'$, $b'$ sono i tangenziali di $a$, $b$, un’altra conica avrà colla cubica un contatto cinquipunto in $a'$ e la segherà in $b'$.

Note

1. Construction de la courbe du 3. ordre déterminée par neuf points (Comptes rendus, 30 mai 1853).
   Per altre costruzioni delle cubiche e delle curve d’ordine superiore veggansi le eccellenti Memorie: Jonquières, Essai sur la génération des courbes géométriques etc. — Hærtenberger, Ueber die Erzeugung geometrischer Curven (Giornale Crelle-Borchardt, t. 58, Berlino 1860, p. 54). — {Cfr. Grassmann nel Giornale di Crelle, t. 31, 36, [42, 44], 52} [anni 1846, 1848, 1851, 1852, 1856].
2. Qui, in (A), l’Autore segnava il problema: «Date 5 intersezioni di una cubica e di una conica, trovare la 6.ª»; e citava: Poncelet, Applications d’analyse et de géométrie, t. 2, pag. 109.
3. Plücker, Theorie der algeb. Curven, p. 56.
4. Hart, Construction by the ruler alone to determine the ninth point of intersection of two curves of the third degree (Cambridge and Dublin Mathematical Journal, vol. 6, Cambridge 1851, p. 181).
5. Poncelet, Analyse des transversales, p. 135.
6. Salmon, On curves of the third order (Philosophical Transactions of the Royal Society, vol. 148, part 2, London 1859, p. 540).