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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Art. XII.

Costruzione della curva di terz’ordine determinata da nove punti.

65. Il teorema generale (50) per $n=2$, $n'=1$, suona così:

Dato un fascio di coniche, proiettivo ad una stella data, il luogo de’ punti in cui i raggi della stella segano le corrispondenti coniche è una curva di terz’ordine (o cubica) passante pei quattro punti comuni alle coniche e pel centro della stella.

Se $o$ è il centro della stella, la tangente in $o$ alla cubica è il raggio corrispondente a quella conica (del fascio) che passa per $o$.

Se $a$ è uno de’ punti-base del fascio di coniche, la tangente in $a$ alla cubica è la retta che nel punto medesimo tocca la conica corrispondente al raggio $oa$ (51, a).

I teoremi inversi del precedente si ricavano da quello del n.° 54:

1.° Fissati ad arbitrio in una cubica quattro punti $abcd$, ogni conica descritta per essi sega la cubica in due punti $mm'$; la retta $mm'$ passa per un punto fisso $o$ della cubica medesima. Le coniche per $abcd$ e le rette per $o$ formano due fasci projettivi. Il punto $o$ dicesi opposto ai quattro punti $abcd$.

2.° Fissati ad arbitrio in una cubica tre punti $abc$ ed un altro punto $o$, ogni retta condotta per $o$ sega la curva in due punti $mm'$; la conica descritta per $abcmm'$ passa per un altro punto fisso $d$ della cubica. Le coniche per $abcd$ e le rette per $o$ si corrispondono proiettivamente.

66. Siano ora dati nove punti $abcdefghi$ e si voglia costruire la curva di terz’ordine da essi determinata, mediante due fasci projettivi, l’uno di coniche, l’altro di rette. Per formare le basi de’ due fasci sono necessari cinque punti: ma uno fra essi (57) non può essere assunto ad arbitrio fra i punti dati, bensì solamente gli altri quattro.

Secondo che il punto incognito si attribuisce al fascio di rette o al fascio di coniche, si hanno due diversi modi di costruire la curva di terz’ordine, i quali corrispondono ai due teoremi (65, 1.°, 2.°). Noi qui ci limitiamo al solo primo modo di costruzione, che è dovuto al sig. Chasles¹.

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1. Construction de la courbe du 3. ordre déterminée par neuf points (Comptes rendus, 30 mai 1853).
   Per altre costruzioni delle cubiche e delle curve d’ordine superiore veggansi le eccellenti Memorie: Jonquières, Essai sur la génération des courbes géométriques etc. — Hærtenberger, Ueber die Erzeugung geometrischer Curven (Giornale Crelle-Borchardt, t. 58, Berlino 1860, p. 54). — {Cfr. Grassmann nel Giornale di Crelle, t. 31, 36, [42, 44], 52} [anni 1846, 1848, 1851, 1852, 1856].