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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Imaginiamo le cinque coniche circoscritte al quadrangolo $abcd$ e passanti rispettivamente per $e$, $f$, $g$, $h$, $i$. Il sistema di queste cinque coniche si può rappresentare col simbolo:

$(abcd)(e,f,g,h,i).$

Si tratta dunque di trovare un punto $o$ tale che il sistema di cinque rette

$o(e,f,g,h,i)$

sia projettivo al sistema delle cinque coniche. Siccome quest’ultimo sistema è projettivo a quello delle tangenti alle coniche nel punto $a$ (46), così l’attuale problema coincide con uno già risoluto (62, 64). Determinato il punto $o$ opposto ai quattro $abcd$, sono determinati i fasci generatori; e con ciò la quistione è risoluta.

67. Suppongansi ora due cubiche individuate da due sistemi di nove punti, fra i quali ve ne siano quattro $abcd$ comuni alle due curve. Queste si segheranno in altri cinque punti che individuano una conica. Questa conica può essere costruita senza conoscere quei cinque punti, cioè senza descrivere le due cubiche.

Si consideri il fascio delle coniche circoscritte al quadrangolo $abcd$; una qualunque di esse sega la prima cubica in due punti $m\,n$ e la seconda cubica in due altri punti $m'n'$. Le rette $mn$, $m'n'$ incontrano nuovamente le cubiche in due punti fissi $o$, $o'$ che sono gli opposti ai dati $abcd$, rispetto alle due cubiche medesime. Variando la conica, le rette $omn$, $o'm'n'$ generano due stelle projettive al fascio di coniche, epperò projettive fra loro. I raggi corrispondenti di queste stelle si segano in punti il cui luogo è una conica passante per $o$, $o'$ ed anche pei cinque punti incogniti comuni alle due cubiche. Essa è dunque la conica domandata.

(a) Di questa conica si conoscono già due punti $o$, $o'$; altri tre si possono dedurre dalle tre coppie di lati opposti del quadrangolo $abcd$, considerate come coniche speciali del fascio. Infatti: siano $m$, $n$ i punti in cui la prima cubica è incontrata nuovamente dalle rette $bc$, $ad$; ed $m'$, $n'$ quelli in cui queste medesime rette segano la seconda cubica. Le rette $mn$, $m'n'$ sono due raggi corrispondenti delle due stelle projettive, i cui centri sono $o$, $o'$; dunque il loro punto comune appartiene alla conica richiesta. Analogamente dicasi delle altre due coppie di lati opposti $(ca,bd)$, $(ab,cd)$.⁶²

Di qui segue che, de’ nove punti comuni a due cubiche, cinque qualunque individuano una conica la quale passa pel punto opposto agli altri quattro, rispetto a ciascuna delle cubiche¹.

(b) Siano $abcd$, $a'b'c'd'$ otto punti comuni a due cubiche; $o$, $o'$ i punti opposti ai due sistemi $abcd$, $a'b'c'd'$, rispetto alla prima cubica. La retta $oo'$ sega questa cubica in un terzo punto $x$. Dalla definizione del punto opposto segue che le coniche indivi-

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1. Plücker, Theorie der algeb. Curven, p. 56.