Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici/Delle superficie di scorrimento

by Guido Fubini

Delle superficie di scorrimento

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Guido Fubini - Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici (1900)

Delle superficie di scorrimento

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Delle superficie di scorrimento.

§. 9. A titolo di esempio, voglio enunciare qui un teorema semplicissimo circa alle superficie di scorrimento, a quelle superficie cioè che possono esser generate da uno scorrimento continuo d’una curva e che (Bianchi A) ammettono perciò una seconda consimile generazione:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una superficie sia di scorrimento lungo le $u=cost.$ e le $v=cost.$ è che le tangenti alle $u=cost.$ lungo una $v=cost.$ siano parallele e così pure le tangenti alle $v=cost.$ lungo una $u=cost.$ Allora si potrà nelle forme quadratiche definenti la superficie porre $E=G=1$, e fatto $F=\cos \sigma$, si dovrà avere $D'=\operatorname {sen} \sigma$; viceversa se $E=G=1$, $F^{2}+D'^{2}=1$ la superficie è di scorrimento lungo le $u$, le $v$.

L’elemento lineare della immagine di Clifford della rigata formata dalle tangenti a una $v=cost.$ lungo una $u=cost.$ è dato (indicando con $d$ differenziali parziali rispetto a $v$) dalla:

$ds^{2}=\sum \left[d\left[x,{\frac {1}{\sqrt {E}}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\right]_{i}\right]^{2}=$

$=dv^{2}\sum \left\{\left[{\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {1}{\sqrt {E}}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\right]_{i}+\left[x,{\frac {1}{\sqrt {E}}}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial u\partial v}}\right]_{i}+\left[x,-{\frac {1}{2}}{\frac {\frac {\partial E}{\partial v}}{\sqrt {E^{3}}}}{\frac {\partial x}{\partial u}}\right]_{i}\right\}^{2}.$

L’espressione del secondo membro deve essere nulla.

Sviluppando con le note identità, ricordando le formule che danno le derivate seconde delle $(x_{i})$ in funzione delle derivate prime e dei coseni di direzione della normale, e notando che

${\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\{\frac {\partial x_{1}}{\partial u}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial u}}\\{\frac {\partial x_{1}}{\partial v}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial v}}\\{\frac {\partial ^{2}x_{1}}{\partial u\partial v}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial ^{2}x_{4}}{\partial u\partial v}}\end{vmatrix}}=D'{\begin{vmatrix}x_{1}&\cdots &\cdots &x_{4}\\{\frac {\partial x_{1}}{\partial u}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial u}}\\{\frac {\partial x_{1}}{\partial v}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial v}}\\\xi _{1}&\cdots &\cdots &\xi _{4}\end{vmatrix}}=\pm D'{\sqrt {EG-F^{2}}}$

otteniamo in fine col solito significato del doppio segno

$\left(D'\pm {\sqrt {EG-F^{2}}}\right)^{2}+{\frac {\left(F{\frac {\partial E}{\partial v}}-E{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)^{2}}{4E\left(EG-F^{2}\right)}}=0,$

cioè

$D'^{2}\pm {\sqrt {EG-F^{2}}}={\begin{Bmatrix}12\\2\end{Bmatrix}}=0.$

Analogamente si troverebbe ${\begin{Bmatrix}12\\1\end{Bmatrix}}=0$. Si può dunque fare $E=G=1$ e quindi poi $D'^{2}=1-F^{2}$; le prime di queste tre formule dimostrano che la superficie riesce di scorrimento; l’ultima dimostra la seconda parte del nostro teorema.