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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Analogamente si troverebbe ${\begin{Bmatrix}12\\1\end{Bmatrix}}=0$. Si può dunque fare $E=G=1$ e quindi poi $D'^{2}=1-F^{2}$; le prime di queste tre formule dimostrano che la superficie riesce di scorrimento; l’ultima dimostra la seconda parte del nostro teorema.

Delle congruenze di raggi.

§. 10. Le congruenze di rette nello spazio curvo furono studiate dal Fibbi in una sua memoria pubblicata negli “Annali della Scuola Normale Superiore Tomo VII, 1895„; noi senza entrare in casi particolari, studieremo quali conseguenze si possano ottenere dalla considerazione della figura piana, generata tirando per il punto $(1,0,0,0)$ le parallele ai raggi di una congruenza fino ad incontrare il piano polare. Detto $(x_{i})$ il punto generico della superficie scelta come iniziale della congruenza, e $(\xi _{i})$ il piano in esso normale al raggio corrispondente, il Fibbi pose:

${\begin{Vmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}&\xi _{4}\\dx_{1}&dx_{2}&dx_{3}&dx_{4}\end{Vmatrix}}^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}$

${\begin{Vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\d\xi _{1}&d\xi _{2}&d\xi _{3}&d\xi _{4}\end{Vmatrix}}^{2}=E'du^{2}+2F'dudv+G'dv^{2}$

$\sum dx_{i}d\xi _{i}=edu^{2}+(f+f')dudv+gdv^{2}.$

Noi avremo come elemento lineare dell’imagine piana suddetta:

$ds^{2}=\sum \left[d(x,\xi )_{i}\right]^{2}=\sum {\left[dx,\xi \right]_{i}}^{2}+\sum {\left[x,d\xi \right]_{i}}^{2}+2\sum \left[dx,\xi \right]_{i}\left[x,d\xi \right]_{i}=$

$=\sum dx^{2}-\left(\sum \xi dx\right)^{2}+\sum d\xi ^{2}-\left(\sum xd\xi \right)^{2}\pm 2(x,dx,\xi ,d\xi ).$

Con $(x,dx,\xi ,d\xi )$ indichiamo al solito il determinante le cui linee sono $(x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4})$ $(dx_{1},...)$ $(\xi _{1},...)$ $(d\xi _{1},...)$; il doppio segno è dovuto alla solita causa. Quando $(x,dx,\xi ,d\xi )=0$ l’angolo di due generatrici consecutive ha una sola determinazione; quindi (§. 6)