Gli Elementi d'Euclide/Appendice/Del cilindro e del cono
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Del cilindro e del cono. 22. Dicesi proiezione di un punto su di una retta o su di un piano il piede della perpendicolare condotta dal punto alla relia od al piano. Diccsi proiezione di una retta su di un’altra retta o su di un piano la retta clic congiunge le projezioni de’ suoi termini. È manifesto che la proiezione su di un piano sarà uguale e parallela alla retta projetlata quando questa sia parallela al piano sul quale si fa la proiezione. In ogni altro caso è minore: imperocché se dai termini A e B della reità Ali si tirano le AC, BD perpendicolari al piano MN; e per A, parallela alla CD, la retta AE, la quale esiste nel piano CDB [XI, 7]; la proiezione CD ò uguale alla AE perchè AC DE è parallelogrammo, e la AE è minore della AB perchè nel triangolo AEB l’angolo E è retto. Dicesi proiezione di una linea su di un piano la linea che passa per le projezioni di tutti i punti della prima. Dicesi proiezione di un poligono su di un piano il poligono chiuso dalla proiezione del perimetro del primo. È manifesto che la proiezione è uguale al poligono proiettato il piano di quando questo sia parallelo al piano sul quale si fa la proiezione. In ogni altro caso è minore. Si consideri di fatti un triangolo ABC che abbia la base AB e l’altezza CD, e siano EFG la proiezione di ABC sul piano MN, EF la proiezione della base AB, GH la proiezione dell’altezza CD, GKl’altezza del triangolo EFG: perchè il piano del triangolo ABC non è parallelo ad MN le AB, Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/433 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/434 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/435 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/436 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/437 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/438 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/439 Pagina:Betti Brioschi - Gli Elementi d'Euclide, 1868.djvu/440 base; imperocchè le circonferenze sono fra loro come i loro raggi e il raggio DE di quella è metà del raggio CB di questa [VI, 4].
Sia ancora ABC un triangolo rettangolo in B: D un punto qualunque del lato AC: F il punto di mezzo di CD: DE, e FG perpendicolari ad AB. Nel tronco di cono a basi parallele, generalo dal trapezio BCDE nella rotazione del triangolo ABC intorno al lato AB, la circonferenza descritta dal punto F è metà della somma delle circonferenze delle due basi; imperocchè il raggio FG di quella è uguale manifestamente alla metà della somma dei raggi DE, CB di queste.
Potremo dire pertanto che la superficie laterale di un cono o di un tronco di cono a basi parallele è data dal prodotto del lato generatore per la circonferenza descritta dal suo punto di mezzo. È evidente che questo medesimo enunciato è applicabile alla superficie laterale di un cilindro.