Elementi/Libro secondo/Propositione 9

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Euclide - Elementi (Antichità)
Traduzione dal greco di Niccolò Tartaglia (1543)

Libro secondo
Propositione 9

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Theorema.9. Propositione.9.

${\frac {9}{9}}$ Se una linea retta sia divisa in due parti equale et in due non equali li quadrati, che vengono fatti dal dutto delle sectioni non equali in se mmedesime tolti insieme, son doppii alli quadrati descritti della mità della linea, et da quella linea che giace fra una e l’altra sectiõ tolti insieme.

Sia la linea .a.b. divisa in due parti equale in ponto .c. et in duoi parti non equali in ponto .d. dico che’l quadrato della linea .a.d. giunto con lo quadrato della linea d.b. sono doppi al quadrato della linea .a.c. gionto con lo quadrato della linea .a.b. e quella faccio equal a l’una e all’altra delle linee .d.c. et .c.b. et produco le due linee .e.a. et .e.b. et serà cõstituido il triangolo .a.e.b. elquale è diviso in duoi [p. 46^r modifica]

triangoli .c.e.b. et .c.e.a. (dalla perpendicolare .e.c.) et perche el lato .c.e. è eequale al lato .c.b. (del triangolo .c.e.b.) li duoi angoli .c.e.b. et .c.b.e. (per la quinta del primo) sono equali, et per esser l’angolo .e.c.b. retto l’uno e l’altro delli duoi angoli .c.e.b. et .c.b.e. (per la trigesima seconda del primo) sarà la mità d’un angolo retto, et per le medesime ragioni li duoi angoli .c.a.e. et .c.e.a. ciascun di loro serà la mità d’un angolo retto dilche tutto l’angolo .e. sarà retto (per esser composto de due mezzi angoli retti) hor dal ponto .d. produco la linea .d.f. equidistante alla .c.e. et perpendicolare sopra la linea .a.b. dilche l’un, e l’altro delli duoi angoli .d. serà retto, et perche l’angolo .d.b.f. (come è detto) è mezzo angolo retto, et perche l’angolo .b.d.f. è retto necessita (per la trigesima del primo) che l’angolo .d.f.b. sia mezzo angolo retto (et per la sesta del primo) il lato .d.f. serà equale al lato .d.b. hor dil ponto .f. conduco la linea .f.g. equidistante alla linea .a.b. dilche li duoi angoli che sono al .g. (per la seconda parte della vigesima nona del primo) l’uno e l’altro serà retto, et l’angolo .e.f.g. (per la ditta trigesima seconda del primo) serà la mità d’un angolo retto, per laqual cosa li duoi lati .g.e. et .g.f. (per la sesta del primo) seranno equali (et per la penultima del primo) il quadrato de .e.f. è equal al quadrato de .e.g. et al quadrato de .g.f. per laqual cosa il quadrato del ditto.e.f. serà doppio al quadrato solo de .g.f. et per esser .g.f. equale al .c.d. (per la trigesima quarta del primo) seguita adonque chel quadrato de .e.f. sia doppio al quadrato de .c.d. hor tiro la .f.a. et perche il quadrato de .e.a. è equale al quadrato de,a,c, et al quadrato de .c.e. (per la detta penultima del primo) et perche .a.c. è equale al .c.e. seguita che’l quadrato de .a.e. sia doppio al quadrato de .a.c. et perche il quadrato de .a.f. è equale al .c.e. seguita che’l quadrato de .a.e. et de .e.f. (per la detta penultima del primo) adonque il quadrato de .a.f. serà doppio al quadrato de .a.c. et al quadrato de .c.d. et perche il quadrato del detto .a.f. (per la detta penultima del primo) anchora lui è equal al quadrato della .a.d. et al quadrato della .d.f. seguita adonque che’l quadrato della .a.d. et lo quadrato della .d.f. gionti insieme sono doppij al quadrato della .a.c. et al quadrato della .c.d. tolti insieme, et perche il quadrato della .d.f. è equale al quadrato della .d.b. adonque li quadrati delle due linee .a.d. et .d.b. seranno doppij alli quadrati delle due linee .a.c. et .c.d. che è il proposito.