Elementi/Libro primo/Propositione 47

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Euclide - Elementi (Antichità)
Traduzione dal greco di Niccolò Tartaglia (1543)

Libro primo
Propositione 47

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Theorema. 33. Propositione. 47.

${\frac {46}{47}}$ In ogni triangolo rettangolo, lo quadrato che vien descritto dal lato opposito all'angolo retto, dutto in se medesimo, è equale alli duoi quadrati che vengono descritti delli altri duoi lati.

Sia il triangolo .a.b.c. dilquale l’angolo .a. sia retto, dico che’l quadrato del lato .b.c. è equal al quadrato del .a.b. e al quadrato del .a.c. tolti insieme adonque quadrarò questi lati secondo la dottrina della precedente, e per il quadrato del .b.c. sia la superficie .b.c.d.e. e per il quadrato del .b.a. la superficie .b.f.g.a. e per il [p. 38^r modifica]

quadrato del .a.c. la supericie .c.h.k. replico adonque e dico che il quadrato .b.c.d.e. è equale ad ambiduoi li quadrati .a.b.f.g. ed .a.c.k.h. giõti insieme, e per dimostrar questo dall'angolo retto .a. produrò alla basa .d.e. del gran quadrato tre linee, cioe la linea .a.l. equidistante all'uno e l'altro lato .b.d. et .c.e. lequal segha il lato .b.c. in ponto .m. e la linea .a.e. e la linea .a.d. Anchora delli altri duoi angoli .b. e .c. tiro alli duoi angoli di duoi quadrati minore le due linee .b.k. et c.f. lequal se intersegan fra loro dentro lo medesimo triangolo .a.b.c. E perche l'una e l'altra delli duoi angoli .b.a.c. et .b.a.g. è retto seranno adonque le due linee .c.a. & .a.g. in diretto congionte, per la quarta decima propositione, e seranno una linea sola, ch'è la linea .g.c. e per le medesime ragioni le due linee .b.a. ed a.h. seranno pur una sol linea, cioe la linea .b.h. perche li duoi angoli .c.a.b. e .c.a.h. son retti, perche adonque sopra la basa .b.f. et fra le due linee .f.b. et .g.c. è costituido il paralellogrammo, over quadrato .b.f.g.a. e il triangolo .b.c.f. per la .41. il paralellogrammo .b.f.g.a. serà doppio al ditto triangolo .b.f.c. ed il triangolo .b.f.c. è equale al triangolo .b.a.d. per la quarta propositione, perche li duoi lati .f.b. e .b.c. del primo son equali alli duoi lati .a.b. e .b.d. del secondo, perche .b.f. e .b.a. ciascuno è lato del quadrato .b.f.g.a. pero son equali, similmente, li altri duoi, cioe .b.c. e.b.d. ciascun è lato del gran quadrato .b.d.c.e. e per questo son anchora lor equali e l'angolo .b. del primo è equale all'angolo .b. del secondo perche l'uno e l'altro è composto d'un angolo retto, e dell'angolo .a.b.c. seguita adonque, per la ditta quarta propositione, che'l ditto triangolo .b.f.c. sia equal al ditto triangolo .b.a.d. e perche il quadrato .b.f.g.a. è doppio (come è detto di sopra, al triangolo .b.f.c. sera etiam doppia (per commune scientia) al triangolo .b.a.d. Ma perche il paralellogrammo .b.d.l.m. è anchora lui doppio al medesimo triangolo .a.b.d. (per la quadragesima prima propositione) perche ambiduoi son costituidi sopra la basa .b.d. e fra le due linee .b.d. e .a.l. equidistante, seguita adonque, per la sesta concettione, che'l paralellogrammo .b.f.g.a. sia equale ala paralellogrammo .b.d.l.m. per esser ciascun di loro doppio al triangolo .a.b.d. Et per questo medesimo modo, e con le medesime propositione provaremo che li duoi triangoli .k.b.c. e .a.e.c. sono equal fra loro, e lo paralellogrammo over quadrato .a.c.h.k. è doppio a l'un di loro, qual si voglia, e similmente il paralellogrammo .c.e.l.m. serà pur doppio a qual si voglia, seguiterà poi come di sopra, che'l paralellogrammo .c.e.l.m. serà equal al quadrato .a.c.k. .a.c.k. {{{2}}} dilche tutto il quadratto grande .b.c.d.e. per esser cõposto delli predetti duoi paralellogrammi .b.d.l.m. et .c.e.l.m. serà equale ad ambiduoi li predetti quadrati insieme gionti, che è il proposito.

Il Tradottore

Da questa propositione si manifesta, che il quadrato del diametro di ciascuno quadrato è doppio al quadrato della sua costa, come, verbigratia, sia il quadrato [p. 38^v modifica]

.a.b.c.d. nel qual tiro il diametro .a.d. hor dico che’l quadrato descritto di sopra .a.d. per la precedente, serà doppio al quadrato descritto sopra la costa over lato .a.c. over sopra un delli altri tre lati, laqual cosa si dimostrerà in questo modo, perche il lato .a.c. è equal al lato .c.d. p la diffinitione del quadrato; et similmente l’angolo .c. è retto adonque (per la presente propositione) il quadrato del lato .a.d. del triangolo .a.d.c. per esser opposito all’angolo .c. che retto serà equale alli duoi quadrati delli duoi lati .a.c. e .c.d. liquali duoi quadrati seranno equali (per commune scientia) dilche essendo equale ad ambiduoi insieme (per commune scientia serà doppia a un sol di quelli, perche uno vien a esser la mittà della somma de tutti duoi, per esser equali l’uno all’altro, e questo e quello che vuol inferire.