Elementi/Libro primo/Propositione 26
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Propositione 26
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26|26 De ogni duoi triangoli di quali li duoi angoli di l’uno seranno equali à duoi angoli di l’altro ciascuno al suo relatiuo, anchora che un lato dell’uno sia equale à un lato dell’altro, ò sia quel tal lato fra li duoi angoli equali oueramente opposito à uno de quelli, anchora li duoi restanti lati di l’uno seranno equali alli duoi restanti lati dell’altro, ciascuno al suo risguardante, ouer relatituo, & similmente l’altro angolo di l’uno serà equale à l’altro angolo dell’altro.
Siano li duoi triangoli ,a,b,c, & ,d,e,f, & sia l’angolo ,b, equale allo angolo ,e, & l’angolo .c. equal all’angolo ,f, & sia el lato ,b,c, equale al lato ,ef, ouer l’uno delli altri duoi lati ,a,b, & ,a,c, sia equal a uno delli altri duoi lati ,d,e, et ,d,f, cioe uno di loro al suo relatiuo, cioe che ,a,b, sia equale al d,e, ouer ,a,c, al ,d,f. Dico che li altri duoi lati dell’uno seranno equali alli altri duoi lati dell’altro, & l’altro angolo dell’uno serà equale all’altro angolo dell’altro, cioe l’angolo ,a, serà equale all’angolo ,d. Ponerò adunque primamente che lo lato ,b,c, (sopra delquale giaceno li duoi angoli ,b,c,) sia equale al lato ,e,f, sopra del quale giaceno li duoi angoli ,e,f, liquali sono stati posti equali alli detti duoi angoli ,b.c. hor dico che ’l lato ,a,b, serà equale al lato ,d,e, il lato ,a,c, al lato ,d,f, & l’angolo ,a, all’angolo .d.Perche, se possibil sia per l’aduersario, che ’l lato ,a,b, non sia equale al lato d,e, l’uno di quelli serà adonque maggior, hor poniamo che’l lato ,d,e, sia maggiore del lato ,a,b, io segarò del lato ,d,e, la parte ,g,e, equali al lato ,a,b, per la tertia propositione, e produrò la linea ,g,f, li duoi lati adonque ,e,g, et ,e,f, del triangolo ,e,g,f, son equali duoi lati .a.b. & .b.c. del triangolo .a.b.c. & l’angolo .a.b.c. è equale all’angolo g.e.f. dal prosupposito, per laqual cosa l’angolo .g.f.e. seria equale all’angolo .a.c.b. per la quarta propositione, & perche l’angolo .d.f.e. si è anchora lui equale al ditto angolo .a.c.b. dal prosupposito per la prima concettione, serà etiam equale all’angolo .g.f.e. sua parte, che è impossibile, per l’ultima concettione, adonque .d.e. serà equale al .a.b, per la quarta propositione, il lato .d.f. sera etiam equale al lato .a.c. & l’angolo .d. all’angolo .a. serà equale, che è il primo membro della diuision proposita, Sia anchora li duoi angoli .b. & .c. equali alli duoi angoli .e.f. come prima, & sia il lato .a.b. ilquale è opposito all’angolo .c. equale al lato .d.e. ilqual è opposito all’angolo .f. ilqual è posto equale all’angolo .c. dico che lato .b.c. serà equal al lato .e.f. & il lato .a.c. al lato .d.f & l’angolo .a. all’angolo .d. & sel lato .e.f. non fusse equale al lato lato .b.c. per l’aduersario l’uno di loro serà maggior dell’altro, sia adonque .e.f. maggior del .b.c. e per tanto ponerò .e.h. equale al .b.c. per la tertia propositione, & produrò la linea .d.h. & serà constituido il triangolo .d.e.h. che li duoi lati .e.d. & .e.h. son equali alli duoi lati .bc. & .b.a. del triangolo .a.b.c. e l’angolo .e. si è equale all’angolo .b. dal presupposito, dilche l’angolo .e.h.d. seria equale a l’angolo .b.c.a. per la quarta propositione, e l’angolo .f. per esser equale anchora all’angolo .c. serà etiam equale all’angolo .e.h.d. per la prima concettione, laqual cosa è impossibile, per la sestadecima propositione, che l’angolo .e.h.d. estrinsico del triangolo .d.h.f. sia equale allo angolo .h.f.d. intrinsico, & opposito, adonque il lato .e.f. serà equale al lato .b.c. & similmente, per la quarta propositione, il lato .d.f. al lato .a.c. serà equale,e l’angolo .e.d.f. all’angolo .b.a.c. che è il secondo membro della proposita diuisione, dilche tutto il proposito serà manifesto.