Archimede (Favaro)/V
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Il «massimo ingegno sovrumano» di colui che Galileo chiama «il mio maestro» e ch’egli scrive: «aver superato tutti», rifulge in particolar modo nelle opere matematiche, le quali non sono, come quelle di tanti altri geometri dell’antichità, compilazioni o raccolte: egli è principalmente e sopratutto uno scropritore ed un inventore, ed i lavori da lui lasciati contengono cose nuove, per la massima parte escogitate e trovate esclusivamente da lui.
Gli scritti d’Archimede pervenuti insino a noi nel testo originale greco sono stesi in dialetto dorico, o, più esattamente, in dialetto siculo-dorico; ma come abbiamo già notato, ad eccezione dell’Arenario, che men degli altri sofferse per alterazioni posteriori, si sono infiltrate in essi aggiunte e variazioni per parte di un interpolatore che apparisce perito nel dialetto dorico; un secondo interpolatore, e precisamente dopo Eutocio, ha completamente rimaneggiata una delle scritture, annullando quasi in essa le traccie del dialetto originale. Questi particolari furono rivelati da accurati studii condotti in questi ultimi tempi, poichè, come di tutte le opere dei matematici greci, così di quelle di Archimede avvenne che all’epoca del rinascimento furono dai matematici tradotte e commentate, ma in nessun conto tenute dai filologi puri, come quelle che erano giudicate di troppo scarsa importanza per i comuni studii delle umane lettere, e gli stretti legami della filologia classica con la storia delle scienze sono un portato di questi nostri ultimi tempi.
L’ordine cronologico, dal quale non si dovrebbe mai dipartirsi, porta a considerare gli scritti d’Archimede in una successione alquanto diversa da quella nella quale ci vengono offerti dai codici degni di maggior fede che ce li tramandarono, e poichè sull’Arenario e sui Galleggianti noi ci siamo già intrattenuti, considereremo brevissimamente gli altri nell’ordine seguìto dall’Heiberg nella sua, possiamo ormai ben dire celebre edizione; cioè: due libri della sfera e del cilindro; la misura del cerchio; dei conoidi e degli sferoidi; delle linee spirali; due libri dell’equilibrio dei piani ossia dei loro centri di gravità, tra l’uno e l’altro dei quali trova posto la quadratura della parabola; il libro dei lemmi, e finalmente il cosiddetto problema bovino. E qui ci giova subito avvertire che, ancora nel sesto secolo dopo Cristo, di Archimede non sembra fossero generalmente noti altro che i libri della sfera e del cilindro, la misura del cerchio ed i libri dell’equilibrio dei piani, intorno alle quali tre opere Eutocio scrisse dei commentarii che sono giunti insino a noi. Ed in queste, come nelle altre opere d’indole speculativa delle quali si è parlato, riponeva Archimede la sua maggiore compiacenza, e tutto il rimanente, al dire di Plutarco, considerava come giuochi ed accessorii della sua geometria, conforme del resto all’opinione a que’ tempi comune ai filosofi, che la mente umana si contaminasse nell’attendere a cose terrestri e materiali.
Fra tutti i suoi lavori pare che egli abbia tenuto in maggior pregio i due libri della sfera e del cilindro, anche perchè il rapporto tra il cerchio, la sfera ed il cilindro, al quale in essi pervenne, è sinteticamente rappresentato nella figura che, a quanto vien riferito, volle scolpita sulla sua tomba e, come vedremo a suo luogo, servì a riconoscerla dopo che se n’era perduta la traccia. Tra i postulati premessi è quello famoso della retta più breve distanza tra due punti, il quale fu erroneamente scambiato per una definizione, ed a cui in certo modo corrisponde quello relativo al piano: altri si riferiscono alla concavità di linee e di superficie e servono a confrontare respettivamente le lunghezze e le aree di linee e superficie contermini, e finalmente vi si trova il celebre assioma che porta il suo nome, benchè Eudosso se ne fosse già servito prima di lui.
Nella lettera, se così può chiamarsi, con la quale la scrittura è dall’autore indirizzata a Dositeo, annuncia egli trattarsi della dimostrazione di queste tre nuove proposizioni, cioè che la superficie della sfera è uguale al quadruplo del suo cerchio massimo; che la superficie di qualsivoglia segmento sferico è uguale ad un cerchio il cui raggio uguaglia la retta condotta dal vertice del segmento al cerchio base d’esso; e che il cilindro avente per base il cerchio massimo della sfera e per altezza il diametro di esso, o in altre parole il cilindro circoscritto alla sfera, è una volta e mezza la sfera, e che le loro superficie hanno la medesima proporzione. Non sono questi però i soli risultati ai quali perviene nel primo libro, e le proposizioni con le quali li dimostra sono di capitale importanza sia per gli artifizii usati nel dedurli, che per le conseguenze delle deduzioni.
Delle questioni trattate nel secondo libro, l’argomento del quale è strettamente connesso con quello del primo, ci terremo ad accennare al problema di dividere una sfera con un piano in due segmenti aventi fra loro un dato rapporto, problema la cui soluzione dipende da una equazione del terzo grado; ma disgraziatamente egli la rimanda «in fine», e questo non era noto nemmeno ai tempi di Diocle e di Dionisiodoro: Eutocio credette d’averla trovata, ma ad ogni modo noi non sappiamo con tutta sicurezza in qual modo Archimede risolvesse il problema, o quale fosse in generale la soluzione da lui data ai problemi cubici.
Brevissima è la scrittura sulla misura del cerchio che è una specie di supplemento alla precedente, tanto breve anzi da far supporre che essa non rappresenti se non una parte del maggior lavoro ricordato da Pappo col titolo: «sulla periferia del cerchio», nel quale si suppone fosse trattato del rapporto di un arco qualsivoglia con la relativa corda. Ciò che ad ogni modo di tale ricerca giunse insino a noi ha per fine la determinazione del rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del respettivo diametro, le lunghezze di due linee qualisivogliano essendo considerate da Archimede, come lo erano già state da Dinostrato, quali grandezze omogenee. La trattazione è compiuta in tre proposizioni, le quali veramente si riducono a due, poichè la seconda non è che un corollario della terza. Dice la prima che ogni cerchio è uguale ad un triangolo rettangolo, uno dei cateti del quale è uguale al raggio e l’altro alla circonferenza, e per dimostrarla si appoggia alla considerazione di poligoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio, e fa vedere che questo non può essere nè maggiore nè minore del triangolo, donde conchiude che dev’essere uguale. Le altre due proposizioni del breve trattato si riferiscono in qualche modo al famoso problema della quadratura del cerchio: nella seconda si dimostra che il cerchio sta al quadrato costruito sul suo diametro come 10 a 14; nelle terza che la circonferenza d’un cerchio qualsivoglia uguaglia il triplo del diametro più una certa frazione di esso che è minore di 1/7 e maggiore di 10/71, alla quale egli perviene inscrivendo e circoscrivendo al cerchio due poligoni di novantasei lati ciascuno e calcolando le lunghezze tra le quali la circonferenza del cerchio doveva necessariamente trovarsi. Disgraziatamente non pervennero insino a noi i particolari del calcolo ch’egli dovette istituire per giungere al risultato del quale, certamente per volontà propria, non spinse ulteriormente l’approssimazione; e, se noi non andiamo errati, è questo il primo esempio di un problema risoluto per approssimazione, esempio così utile e così di sovente messo a profitto tanto nel calcolo algebrico come nelle costruzioni geometriche.
Brevi parole crediamo ancora dover adoperare circa il metodo usato in tale occasione, che non è altro se non il cosiddetto metodo di esaustione, del quale, secondo quanto narra Simplicio, avrebbe già fatto uso Antifonte nel secolo quinto avanti Cristo, e che fu sistematicamente adoperato da Eudosso nel secolo successivo. Questo metodo di esaustione consiste nel risguardare la grandezza data, p. e. l’area d’una curva, come il limite a cui si avvicinano sempre maggiormente dei poligoni inscritti e circoscritti, dei quali si moltiplica per via di bisezione il numero dei lati, in modo che la differenza si esaurisca, si riduca cioè ad essere più piccola di qualsiasi quantità data. Tale ravvicinamento continuo tra i poligoni e la curva somministrava un’idea sempre più precisa di questa, e con la guida della legge di continuità conduce alla conoscenza delle proprietà cercate, salvo poi di dimostrare in seguito rigorosamente i risultati ottenuti con la riduzione all’assurdo. Si è detto e ripetuto che gli antichi avevano considerate le curve come poligoni infinitilateri; nulla di meno vero, perchè questo principio non si riscontra mai nei loro scritti, e d’altronde non avrebbe potuto contribuire al rigore delle loro dimostrazioni: i moderni bensì l’hanno introdotto, semplificando tanto notevolmente le antiche dimostrazioni, e questa felice idea costituì il passaggio dal metodo di esaustione al metodo infinitesimale.
Un campo affatto nuovo si aperse Archimede con le ricerche sui solidi di rotazione dei quali nessuno s’era prima di lui occupato. Prese egli a considerare i solidi generati dalla rivoluzione delle sezioni coniche intorno ai loro assi, che chiamò cumulativamente col nome di conoidi e di sferoidi, e rispettivamente conoide parabolico ed iperbolico quelli generati dalla rotazione di una parabola e di una iperbole intorno al diametro immobile, e sferoide allungato ed appiattito quelli generati dalla rotazione di una ellisse intorno agli assi maggiore e minore: questi solidi, sia interi che segmentati, egli confrontò coi cilindri e coi coni della stessa base e della stessa altezza. Nelle sue ricerche egli procede dividendo i corpi di rivoluzione mediante piani secanti tra loro paralleli ed equidistanti, ed ottenne con ciò come elementi fra due di quei piani un solido che può considerarsi compreso tra due cilindri, uno inscritto e l’altro circoscritto: la somma dei cilindri maggiori e quella dei minori costituiscono due limiti tra i quali rimane compreso il volume del solido di rivoluzione e che, ravvicinando tra loro le superficie di sezione, possono esser fatti differire quanto poco si voglia tra loro. L’entrare in maggiori particolari circa i molteplici risultati registrati in questo libro ci è vietato dall’indole del presente scritto: ci basti il soggiungere che in esso è fornita una luminosa prova della facoltà che Archimede possedeva in grado eminente di modificare e di adattare il metodo di cui egli si serviva: i suoi procedimenti son vere integrazioni e segnano i primi passi all’invenzione dell’analisi infinitesimale della quale doveva poi gloriarsi il decimosettimo secolo.
L’ordine che ci siamo proposti di seguire in questa nostra rapidissima rassegna ci porta a parlare di quel libro di Archimede che vien giudicato il più notevole tra quelli di geometria piana che ci vennero conservati, cioè le spirali. Il trattato è indirizzato a Dositeo, e sono tra i teoremi in esso contenuti quelli dei quali, come già per incidenza abbiano avvertito, la morte aveva impedito a Conone di trovare la dimostrazione.
La spirale di Archimede è la prima curva che comparisce nella geometria, generata contemporaneamente da una doppia specie di movimenti e da elementi mossi. Galileo la dice «generata da un punto che si muove uniformemente sopra una linea retta, mentre essa pur uniformemente si gira intorno ad uno dei suoi estremi punti, fisso come centro del suo rivolgimento»: meglio non potrebbero tradursi le parole stesse di Archimede. Il quale non si tenne ad insegnare la costruzione della nuova curva, ma ne trovò le tangenti e le aree comprese tra la posizione iniziale della retta mobile e le varie spire. Delle molte proprietà da lui scoperte tuttavia le dimostrazioni non apparvero di facile studio a parecchi insigni matematici: il Vieta le giudicò paralogismi, il Bouillaud, anche dopo averle sviluppate, temette di non averle ben comprese, e forse non trovarono un sicuro interprete prima del Cavalieri, il quale per gli studii condotti intorno ad esse meritò d’esser detto da Galileo: «emulo di Archimede».
Passando dal campo della geometria a quello della meccanica, per formarsi un giusto concetto del contributo recatovi da Archimede, oltre ai libri dell’equilibrio dei piani, ed a quelli dei galleggianti, dei quali abbiamo già tenuto parola, converrebbe conoscere anche quell’altro di cui si trova menzione sotto i titoli: dei sostegni, delle leve, dell’equilibrio tra i pesi, ed anche dell’equilibrio delle figure nelle quali sono impiegate delle leve, già perduto fino dai tempi di Pappo, e nel quale assai verisimilmente era contenuta la definizione di centro di gravità che Archimede stesso scrive in altro suo lavoro d’avere già data, ma che non si trova in questi dell’equilibrio dei piani. In essi sono veramente posti i fondamenti della statica con lo sforzo evidente ed ammirabile di non enunciare alcuna nuova proposizione che non si deduca rigorosissimamente da postulati chiari ed esplicitamente enunciati: così egli arriva alle due proposizioni fondamentali dell’equilibrio fra due grandezze commensurabili quando siano reciprocamente proporzionali alle distanze alle quali sono sospese. I rimanenti teoremi del primo e del secondo libro hanno per fine la determinazione dei centri di gravità del parallelogrammo, del triangolo, del trapezio e del segmento parabolico, nella quale si hanno integrazioni che forse in ordine di tempo sono le prime alle quali sia giunto Archimede. E forse con questi libri hanno relazione quegli elementi di meccanica dei quali si ha memoria soltanto per la citazione che ne fu rinvenuta in un frammento delle scritture sulle galleggianti, da non molto scoperto.
Tra il primo ed il secondo libro dell’equilibrio dei piani viene ad inserirsi, come abbiamo già avvertito, la quadratura della parabola, questa pure indirizzata a Dositeo, e che vien considerata come quella che mette in maggior luce la sagacia del grande Siracusano. E qui non sarà fuori di luogo notare che già nel libro dei conoidi e sferoidi Archimede aveva dimostrato la notevole proposizione concernente il rapporto tra l’area dell’ellisse e quella del cerchio avente per diametro l’asse maggiore, rapporto che è lo stesso di quello che passa tra l’asse minore ed il maggiore; ma soggiungendo però subito che nel presente libro si porge il primo esempio di quadratura di un’area limitata da linee non tutte rette nè tutte curve.
Premesse tre proprietà elementari della parabola, che Archimede scrive essere state dimostrate ne’ trattati sulle coniche, senza dire se suoi o d’altri, procede alla esposizione di due metodi diversi. Il primo, ch’egli chiama per via meccanica, e col quale trova la superficie del segmento limitato da un arco di parabola e dalla sua corda, appoggiandosi sui teoremi dei momenti statici e del centro di gravità del triangolo già esposti nel primo libro dell’equilibrio dei piani. Nel secondo, puramente geometrico, osservato che il triangolo inscritto nel segmento parabolico (avente cioè per base la base del segmento e per vertice il punto in cui la tangente è parallela alla base) è maggiore della metà di questo segmento, ne conchiude che se si continua la formazione della figura poligonale regolarmente inscritta, la superficie di questa potrà differire quanto poco si voglia da quella del segmento. Egli impiega la somma di una progressione geometrica decrescente: inscrive prima nella parabola un triangolo, poi un altro ancora in ciascuno dei due segmenti rimanenti, ed analogamente nei quattro, otto, sedici e così via che risultano da queste specie di continua bisezione, e trova che la somma di tutti quei triangoli è i quattro terzi del triangolo inscritto, risultato al quale era già pervenuto seguendo il metodo meccanico.
Più brevemente ancora diremo dei lemmi consistenti in una raccolta di eleganti proposizioni di geometria piana, di certo però non stese da Archimede nella forma che ci fu conservata dagli Arabi, e che verisimilmente sono tratte da altre scritture originali e che non giunsero sino a noi. Notevoli fra le altre quelle relative alla quadratura dell’arbelo e del salinon, figure analoghe alle celebri lunule d’Ippocrate, e nella prima delle quali occorrono quasi per incidenza il teorema delle tre altezze del triangolo che si tagliano in un punto e quello concernente la trisezione dell’angolo.
Ma non vogliamo compiere la rivista dei lavori geometrici di Archimede senza accennare almeno ad un altro ordine di indagini da lui compiute e delle quali la memoria ci fu conservata da Pappo: questi infatti, per dimostrare che la sfera è tra i corpi quello che a parità di superficie racchiude il massimo volume, la paragona ad altre figure ad essa inscritte e sceglie, oltre i cinque regolari, altri solidi solo parzialmente regolari, cioè limitati da faccie equilatere ed equiangole, ma non tutte simili, aggiungendo che sono in numero di tredici e furono scoperte da Archimede, senza dire però nè a qual fine nè con quali mezzi avesse proceduto nelle indagini relative, che certamente ci sarebbero state rivelate se fosse a noi pervenuto quel libro sui poliedri che gli viene attribuito, ma che andò perduto.
E del pari, se pur di Archimede, non è nella sua forma originale il cosiddetto problema bovino, fatto per la prima volta conoscere dal Lessing, ed intorno alla autenticità del quale lungamente si discusse in Germania ed in Francia: anche il Gauss sembra essersene occupato, benchè nulla a questo proposito abbia dato alla luce. Nella sua forma attuale (è steso in dialetto ionico, usato sempre dai Greci nei poemi epici ed elegiaci) esso è con tutta verisimiglianza posteriore ad Archimede, ma quanto al problema in sè stesso, è non solo possibile ma anche probabile che sia a lui dovuto.
Tale problema, che figura indirizzato ad Eratostene, consiste nel determinare il numero dei buoi del sole, che pascevano un tempo sulle pianure della Sicilia, distinti in quattro mandre di diverso colore: ne fanno parte tori e giovenche distribuiti in gruppi nei quali entrano in proporzioni diverse che vengono specificate. Il problema è di analisi indeterminata, e basti il dire che la soluzione minima darebbe un numero di buoi rappresentato da una cifra seguita da oltre duecentomila zeri, tale in somma che non solo tutta la Sicilia, ma nemmeno la superficie tutta della terra basterebbe a contenerli. E del resto non sarebbe stato questo il primo caso di problemi intricatissimi ed anche falsi lanciati da Archimede per mettere in imbarazzo e convincere di menzogna i geometri del suo tempo; e lo dice espressamente nell’introduzione alle spirali.
Non deve poi recar meraviglia se, attesa la fama grandissima di Archimede e le leggende che andarono formandosi intorno a lui, gli siano stati attribuiti scritti ed invenzioni ch’egli non sognò mai: anzi delle invenzioni è detto che furono quaranta e più, e degli scritti geometrici vuolsi ne abbia lasciati ancora sull’eptangolo nel cerchio, sui cerchi tangenti, sulle parallele, sui triangoli, sulle proprietà dei triangoli rettangoli, sui dati e sulle definizioni, ed or non ha molto fu edita una lettera ch’egli avrebbe indirizzata a Gelone, ma che fu riconosciuta apocrifa.
Ai lavori di meno dubbia autenticità ed ai quali, e per le affermazioni di lui stesso o di altri degni di fede, possiamo credere abbia Archimede effettivamente atteso, si è già per incidenza accennato più sopra ogni qualvolta se ne offerse l’occasione, toccando di argomenti aventi con essi una qualche analogia: ad eccezione però di uno del quale ci siamo riservati di trattare qui in sulla fine.
È questo l’ephodion menzionato da Suida ed al quale Teodosio da Tripoli avrebbe scritto un commentario: il Rivault opinò che Archimede vi avesse descritto il suo viaggio in Egitto; il Tannery che vi si trattasse delle corde del cerchio, lo Schmidt che tale fosse il vero titolo della quadratura della parabola, e poichè la greca parola significa «avviamento» e fu adoperata nel senso di «metodo» dopo Aristotele, che vi fosse trattato del metodo di esaustione, od almeno che fosse il titolo di un maggior lavoro del quale giunse a noi soltanto la quadratura della parabola. Ma il più competente fra tutti gli studiosi di cose Archimedee, l’Heiberg, appoggiandosi appunto sul significato della parola, opinò vi fosse trattato del metodo nelle matematiche, e la sua può ben dirsi essere stata una divinazione; e fu premio condegno alle sue fatiche la grande scoperta che or son pochi anni mise a rumore la scarsa ma eletta schiera di studiosi che attendono a ricerche sulla storia delle matematiche.
Nel 1907 infatti l’Heiberg annunziava che, durante l’estate precedente, in Costantinopoli, e precisamente nel metochion del monastero del Santo Sepolcro di Gerusalemme, egli aveva potuto esaminare un manoscritto che, sotto un Euchologion del decimoterzo secolo conteneva scritti di Archimede in un bel minuscolo del decimo secolo, ed aveva riconosciuto, oltre a quelli dei quali abbiamo già per incidenza fatto cenno, l’ephodion, cioè, per riferirne il titolo completo, «Metodo dei teoremi meccanici di Archimede ad Eratostene».
Il metodo di esaustione di cui Archimede aveva già fatto così felice uso, e per il quale, lo ripetiamo, egli è giustamente risguardato come il più grande precursore dell’analisi infinitesimale, costituisce pure la base dei nuovi procedimenti; ma in essi è una nozione che per la prima volta comparisce nelle sue opere, quella cioè del momento di una forza rispetto ad una retta e ad un piano: senza farne il nome egli la impiega costantemente. Tradotto in linguaggio moderno il suo metodo consiste nel confrontare due volumi considerati come solidi omogenei e nel mostrare che i pesi dei loro elementi hanno lo stesso momento rispetto ad una retta data: siccome uno dei due volumi è stato scelto in modo che questo momento risultante fosse per esso noto, è noto del pari anche per l’altro. Come fu giustamente osservato, se questa scoperta non trasforma il concetto che già si aveva dell’opera di Archimede, essa la completa e la precisa, e mostra che il grande Siracusano s’era portato nelle vie della scienza moderna assai più innanzi che non si supponesse: essa accresce, se fosse possibile, la nostra ammirazione per il suo genio maraviglioso. Sicchè riceve nuova conferma il giudizio del Leibniz, il quale lasciò scritto che coloro i quali sono in grado di comprendere Archimede, ammirano assai meno le scoperte dei maggiori uomini moderni.