Appunti di relatività/Terza parte

by Lucio F. Ossino

Terza parte - Meccanica operazionale

../Seconda parte ../Quarta parte IncludiIntestazione 17 aprile 2020 75% Da definire

Questo testo è completo.

Lucio F. Ossino - Appunti di relatività (2009)

Terza parte - Meccanica operazionale

◄

Seconda parte

Quarta parte

►

Terza parte

MECCANICA OPERAZIONALE

PREMESSA

Abbiamo criticato molte affermazioni di Minkowski, ma condividiamo senza riserve l’apertura della sua comunicazione:

“...lo spazio in sè, ed il tempo in sè, sono destinati a svanire come ombre, e soltanto l’unione dei due conserverà una realtà indipendente.”

A Minkowski va riconosciuto il merito di avere concepito per primo il tempo come quarta dimensione, ma sull’uomo di scienza ha prevalso l’irritazione per essere stato superato da un allievo poco stimato, la presunzione del professore e l’orgoglio del matematico hanno fatto il resto. Così ha creduto di poter derivare le leggi della Relatività soltanto da geniali considerazioni matematiche sui gruppi di trasformazione.

In realtà le equazioni di Maxwell e le trasformazioni di Lorentz derivano da osservazioni sperimentali che non possono essere dedotte da considerazioni di pura Matematica. Le trasformazioni di Lorentz hanno rilevanti e ben note proprietà matematiche, ma i fatti fisici da cui esse derivano non sono assolutamente prevedibili per via matematica.

TRASFORMAZIONI IN FORMA ESPLICITA

La teoria di Einstein deriva da proprietà fisiche dello spazio-tempo, mentre la formulazione di Minkowski riguarda uno spazio matematico che non ha alcuna proprietà fisica. Seguendo rigorosamente gli stessi principi su cui si fonda la Relatività si perviene ad una nuova Meccanica relativistica a quattro dimensioni, congruente con la Meccanica classica di Galileo e con la teoria elettromagnetica. Occorre premettere alcune considerazioni sulla forma delle trasformazioni di Lorentz:

$x'=\Gamma (x-Ut);\;\;\;\;t'=\Gamma \left(t-{\frac {U}{c^{2}}}x\right)$.

Se gli oggetti A e B sono nelle posizioni $x_{\mathrm {a} }$ e $x_{\mathrm {b} }$, la separazione spaziale fra A e B è data dalla differenza $l=x_{\mathrm {b} }-x_{\mathrm {a} }=\Delta x$. Se A si trova nell’origine abbiamo $x_{\mathrm {a} }=x_{\mathrm {O} }=0$, quindi $\Delta x=x-x_{\mathrm {O} }=x$. In altre parole se la coordinata dell’origine è $x_{\mathrm {O} }=0$, la forma implicita ($x$) può sostituire la forma esplicita ($\Delta x$).

Per la coordinata temporale occorre considerare che le proprietà del tempo sono del tutto differenti da quelle dello spazio. Nelle situazioni da cui si ricavano le trasformazione di Lorentz (interferometro di Michelson o simultaneità di Einstein) la variabile $t$ rappresenta l’intervallo di tempo (separazione temporale) fra due eventi, uno dei quali è assunto come istante iniziale ($t_{\mathrm {O} }=0$). In questi casi spazio e tempo sono trattati separatamente, le coordinate spaziali $x$, $y$, $z$ sono determinate rispetto al sistema di riferimento, mentre la coordinata temporale è riferita all’istante iniziale $t_{\mathrm {O} }=0$ arbitrariamente stabilito. L’espressione della coordinata temporale risulta:

$\Delta t=t-t_{\mathrm {O} }=t$.

Anche in questo caso la notazione esplicita $(\Delta t)$ è equivalente a quella implicita $(t)$, essendo sottinteso che per l’evento-origine sia $t_{\mathrm {O} }=0$. Nella Meccanica tridimensionale, classica o relativistica, è lecito usare le espressioni implicite $(x)$ e $(t)$ in sostituzione delle forme esplicite degli intervalli $(\Delta x)$ e $(\Delta t)$. La stessa cosa vale per lo spazio-tempo matematico di Minkowski, perché il punto-evento che rappresenta l’origine ha l’espressione $O(x_{\mathrm {O} }=0;\,y_{\mathrm {O} }=0;\,z_{\mathrm {O} }=0;\,t_{\mathrm {O} }=0)$.

Riassumendo $(x)$ e $(t)$ sono notazioni implicite che rappresentano gli intervalli in forma esplicita $\Delta x=(x-x_{\mathrm {O} })$ e $\Delta t=(t-t_{\mathrm {O} })$, essendo sottinteso che l’origine spaziale sia $\mathrm {O} (x_{\mathrm {O} }=0;\,y_{\mathrm {O} }=0;\,z_{\mathrm {O} }=0)$, e che l’origine della coordinata temporale sia fissata al valore $t_{\mathrm {O} }=0$.

Per una Meccanica relativistica dello spazio-tempo fisico dobbiamo invece considerare il fatto fondamentale che il tempo passa per qualunque oggetto appartenete al mondo fisico reale. Parafrasando Eraclito assumiamo per postulato che:

lo stato fisico di tutti gli oggetti è funzione del tempo.

Questo vale in particolare per l’origine del sistema di riferimento, la cui coordinata temporale non può essere $t_{(\mathrm {O} )}=0$ ma $t_{(\mathrm {O} )}=t$ (attenzione a non confondere la coordinata temporale dell’origine $t_{(\mathrm {O} )}$ con l’istante iniziale $t_{\mathrm {O} }=0$!).

In altre parole tutti gli orologi (sincronizzati) del riferimento stazionario segnano lo stesso orario $t_{(\mathrm {O} )}=t$ che segna l’orologio posto nell’origine. Essendo l’origine $\mathrm {O} (0,0,0;t)$, per la posizione generica di un oggetto fisico è $P(\Delta x,\Delta y,\Delta z,\Delta t)$, abbiamo $\Delta x=x$, $\Delta y=y$, $\Delta z=z$, mentre $\Delta t$ è la separazione temporale di $\mathrm {P}$ dall’oggetto-origine $\mathrm {O}$. In questo caso è chiaro che non si può usare $(t)$ in sostituzione della forma esplicita $(\Delta t)$. Se il punto $\mathrm {P}$ è stazionario abbiamo $\Delta t=0$, se invece $\mathrm {P}$ appartiene ad un altro riferimento $\mathrm {S} '$ la sua coordinata temporale risulta $\Delta t=t'-t$. Per omogeneità nel seguito scriveremo le trasformazioni di Lorentz con entrambe le notazioni esplicite $(\Delta x)$ e $(\Delta t)$:

$\Delta x'=\Gamma (\Delta x-U\Delta t)$;

$\Delta t'=\Gamma \left(\Delta t-{\frac {U}{c^{2}}}\Delta x\right)$.

L’espressione completa della separazione temporale $\Delta t$ sarà stabilita nei prossimi paragrafi, ma ripetiamo che $\Delta t$ rappresenta la separazione temporale dell’oggetto-fisico che si trova nel punto $\mathrm {P}$, dall’oggetto-fisico che rappresenta l’origine del sistema di riferimento spazio-temporale.

Questa è la differenza fondamentale fra la Meccanica degli eventi (Minkowski) e la Meccanica operazionale dello spazio-tempo fisico.

DETERMINAZIONE DEL COEFFICIENTE TEMPORALE

Il concetto di separazione temporale fra oggetti fisici non è affatto nuovo, infatti è già formulato chiaramente nell’articolo del 1905 e, accelerazioni a parte, corrisponde alla differenza di invecchiamento nel paradosso dei gemelli. Invitiamo il lettore a riflettere sul profondo significato di questo concetto, la cui importanza a nostro avviso non è stata valutata a sufficienza.

In un riferimento cartesiano la distanza del punto $P(x,y,z)$ dall’origine $\mathrm {O} (x_{\mathrm {O} },y_{\mathrm {O} },z_{\mathrm {O} })$, è data dall’espressione:

$l={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}}$,

dove $\Delta x=x-x_{\mathrm {O} }$, $\Delta y=y-y_{\mathrm {O} }$, $\Delta z=z-z_{\mathrm {O} }$. La distanza $l$ rappresenta lo spazio fisico che separa il punto $\mathrm {P}$ dall’origine $\mathrm {O}$. Lo stesso concetto deve valere in termini operazionali anche per la coordinata temporale $\Delta t$. Per omogeneità dimensionale si deve introdurre un fattore $\alpha$ con le dimensioni di una velocità, in modo che il prodotto $\alpha \Delta t$ abbia le dimensioni di una lunghezza. La distanza spazio-temporale assume allora la forma:

$L={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}+\alpha ^{2}\Delta t^{2}}}$.

In configurazione standard abbiamo $\Delta y=\Delta z=0$, quindi si può scrivere:

$L={\sqrt {\Delta x^{2}+\alpha ^{2}\Delta t^{2}}}$.

Per la separazione $L$ devono valere i tre criteri di validazione, in particolare deve valere la condizione di invarianza $L'=L$:

$\left(\Delta x'\right)^{2}+\left(\alpha \Delta t'\right)^{2}=\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\alpha \Delta x\right)^{2}$.

Dalle trasformazioni di Lorentz in forma esplicita si ottiene:

$\left(\Delta x'\right)^{2}+\left(\alpha \Delta t'\right)^{2}=\Gamma ^{2}\left[\left(\Delta x-U\Delta t\right)^{2}+\alpha ^{2}\left(\Delta t-{\frac {U}{c^{2}}}\Delta x\right)^{2}\right]=$ $\Gamma ^{2}\left[\Delta x^{2}+U^{2}\Delta t^{2}+\alpha ^{2}\Delta t^{2}+{\frac {\alpha ^{2}U^{2}}{c^{4}}}\Delta x^{2}-2U\left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x\Delta t\right]=$ $\Gamma ^{2}\left[\left(1+{\frac {\alpha ^{2}U^{2}}{c^{4}}}\right)\Delta x^{2}+\left(1+{\frac {U^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)\alpha \Delta t^{2}-2U\left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{c^{2}}}\right)\Delta x\Delta t\right]=$

$=\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\alpha \Delta t\right)^{2}$.

Uguagliando i coefficienti dei termini omologhi si ottiene:

$\Gamma ^{2}\left(1+\alpha ^{2}{\frac {U^{2}}{c^{4}}}\right)=1$	$\Rightarrow$	$\left(1+\alpha ^{2}{\frac {U^{2}}{c^{4}}}\right)=1-{\frac {U^{2}}{c^{2}}}$	$\Rightarrow$	$\alpha ^{2}=-c^{2}.$
$\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {U^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)=1$	$\Rightarrow$	$\left(1+{\frac {U^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)=1-{\frac {U^{2}}{c^{2}}}$	$\Rightarrow$	$\alpha ^{2}=-c^{2}.$
$2\Gamma ^{2}U\left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{c^{2}}}\right)=0$	$\Rightarrow$	$\left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{c^{2}}}\right)=0$	$\Rightarrow$	$\alpha ^{2}=-c^{2}.$

Sostituendo nell’espressione $L={\sqrt {\Delta x^{2}+\alpha ^{2}\Delta t^{2}}}$ abbiamo infine:

$L={\sqrt {\Delta x^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}}$

Minkowski ha introdotto il coefficiente immaginario $i={\sqrt {-1}}$ senza nessuna giustificazione fisica, soltanto per dare forma pitagorica all’espressione di Poincaré, in modo da poterla interpretare come distanza nello spazio matematico dei punti-evento.

Nella Meccanica relativistica operazionale invece il coefficiente immaginario è parte del fattore $\alpha =\pm ic$, che si ricava dalla condizione di invarianza della separazione spazio-temporale.

LA SEPARAZIONE OPERAZIONALE

Per determinare completamente l’espressione della separazione $L$ occorre ricavare l’intervallo $\Delta t$ seguendo rigorosamente il Principio operazionale. Ricordiamo che l’argomento della Meccanica è il moto, cioè il cambiamento di posizione rispetto alla struttura fisica che si assume come sistema di riferimento. Definiamo il concetto generale di posizione nello spazio-tempo fisico:

la posizione di ogni oggetto è determinata dalla separazione dall’oggetto che rappresenta l’origine del sistema di riferimento.

La stessa definizione vale sia per le dimensioni spaziali che per quella temporale, quindi possiamo affermare che:

la posizione temporale di ogni oggetto è determinata dalla separazione temporale dall’oggetto fisico assunto come origine.

Occorre quindi definire esattamente il concetto di:

separazione temporale fra oggetti fisici.

Questo concetto è del tutto estraneo al linguaggio comune, ed è ignorato anche nel linguaggio scientifico, infatti per separazione temporale si intende di solito un intervallo di tempo fra due eventi.

Per definire il concetto di separazione temporale fra oggetti fisici seguiremo rigorosamente il metodo operazionale.

Assumiamo una ferrovia rettilinea di lunghezza indefinita come sistema di riferimento stazionario, dove la stazione ferroviaria rappresenta l’origine del riferimento. Dirige la stazione Miss Alice (Al) che rappresenta l’osservatore stazionario. L’ing. Bertrand (Bert per gli amici) conduce una locomotiva inerziale, costruita per correre a velocità $u$ costante. Al passaggio della locomotiva davanti alla stazione miss Alice azzera l’orologio della stazione, per cui abbiamo $t_{\mathrm {O} }=0$. In ogni istante successivo la distanza percorsa dalla locomotiva inerziale risulta: $\Delta x=ut=x$.

Questa è la separazione spaziale fra Al e Bert vista dal riferimento stazionario di miss Alice.

Si definisce tempo proprio $\tau$ quello trascorso per l’ing. Bertrand secondo la valutazione dell’osservatore stazionario (non secondo il conducente della locomotiva!). Poniamo che al tempo $t_{\mathrm {O} }=0$ sia anche $\tau _{\mathrm {O} }=0$. Secondo miss Alice il tempo dell’ing. Bert scorre più lentamente di un fattore $\gamma$ per effetto relativistico. In altre parole miss Alice valuta che quando l’orologio della stazione segna il tempo $t$, per l’ing. Bert è trascorso il tempo $\tau =t/\gamma$, per cui fra loro esiste la separazione temporale:

$\Delta t=t-\tau =\tau (\gamma -1)$.

Con ciò è completamente determinata l’espressione della separazione spazio-temporale fra Al e Bert:

$L={\sqrt {\Delta x^{2}+\left(ic\Delta t\right)^{2}}}={\sqrt {x^{2}-c^{2}\left(t-\tau \right)^{2}}}$.

Dal Paradiso dei fisici il prof. Al-Bert Einstein sorride compiaciuto mostrando la lingua!

Ponendo $\tau =0$ nell’espressione $\Delta t=t-\tau$, si ottiene $\Delta t=t$, che è la componente temporale del raggio-vettore di Minkowski. {{noindent|Ma dalla condizione $\tau =0$ risulta:

$\tau =t/\gamma =t{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;u=\pm c$.

Abbiamo l’ennesima evidenza che nella teoria di Minkowski è sommata in modo occulto la velocità della luce.

L’INVARIANTE DELLA MECCANICA OPERAZIONALE

Nella figura seguente è rappresentato un sistema di coordinate cartesiane, con la posizione di un punto dello spazio-tempo fisico (non è rappresentato l’asse $\mathrm {Z}$ per l’eccessiva complicazione del disegno). I punti $\mathrm {O} (0,0,0,t)$ e $\mathrm {P} (\Delta x,0,0,\Delta t)$ corrispondono rispettivamente alle posizioni degli oggetti $\mathrm {A}$ e $\mathrm {B}$, il segmento $\mathrm {OP}$ rappresenta la separazione spazio-temporale fra $\mathrm {A}$ e $\mathrm {B}$. Considerando le tre coordinate spaziali si ottiene:

$L^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})-c^{2}(t-\tau )^{2}$

che definiamo Invariante Generale Operazionale della Relatività.
Esplicitiamo la componente spaziale $(x^{2}+y^{2}+z^{2})=r=u\gamma \tau$ ed il tempo proprio $\tau =t/\gamma$:

$L^{2}=(u\gamma \tau )^{2}-c^{2}\tau ^{2}(\gamma -1)^{2}=c^{2}\tau ^{2}\left[-\gamma ^{2}(1-u^{2}/c^{2})+2\gamma -1\right]=$

$=2c^{2}\tau ^{2}(\gamma -1)=2c^{2}t^{2}(\gamma -1)/\gamma ^{2}=2c^{2}\tau ^{2}(\gamma -1)=$

$=2c^{2}t^{2}(\gamma ^{2}-1)/\gamma ^{2}(\gamma +1)=2u^{2}t^{2}/(\gamma +1)$.

Riassumendo:

$L=c\tau {\sqrt {2(\gamma -1)}}=ut{\sqrt {2/(\gamma +1)}}$

Per $u\rightarrow 0$ abbiamo $L\rightarrow {\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}}=r$, questo prova che l’Invariante generale si riduce naturalmente alla distanza tridimensionale. Possiamo verificare numericamente l’invarianza $L'=L$, ponendo per es. che la velocità della locomotiva sia $u=0,8c$.

Dall’espressione $L=ut{\sqrt {2/(\gamma +1)}}$ risulta:

$L^{2}={\frac {2u^{2}t^{2}}{1+1/{\sqrt {1-(u/c)^{2}}}}}=c^{2}t^{2}{\frac {1,28}{1+1/{\sqrt {1-0,64}}}}={\underline {0,48\,c^{2}t^{2}}}$.

Per conferma verifichiamo anche l’espressione $L^{2}=(\Delta x)^{2}-c^{2}(\Delta t)^{2}$:

$L^{2}=u^{2}t^{2}-c^{2}t^{2}(1-1/\gamma )^{2}=c^{2}t^{2}(0,8)^{2}-c^{2}t^{2}(1-0,6)^{2}=$

$={\underline {0,48\,c^{2}t^{2}}}.$

Poniamo che la velocità della locomotiva rispetto ad un altro osservatore $A'$ sia $u'=0,5\,c$, la velocità di $A'$ rispetto ad $A$ risulta:

$U={\frac {u-u'}{1-uu'/c^{2}}}=c\,{\frac {0,8-0,5}{1-0,4}}=0,5\,c$.

Casualmente abbiamo $U=0,5\,c=u'$, ma in generale risulta $U\neq u'$. Dalle trasformazioni di Lorentz in forma esplicita si ottiene:

$(L')^{2}=(\Delta x')^{2}+(ic\Delta t')^{2}=\Gamma ^{2}\left(\Delta x-U\Delta t\right)^{2}-c^{2}\Gamma ^{2}\left(\Delta t-U\Delta x/c^{2}\right)^{2}=$

$=\Gamma ^{2}\left(\Delta x-U\Delta t\right)^{2}-c^{2}\Gamma ^{2}\left(\Delta t-U\Delta x/c^{2}\right)^{2}=$

${\frac {t^{2}}{1-U^{2}/c^{2}}}\left\{\left[u-U\left(1-{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\right)\right]^{2}-c^{2}\left[1-{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}-{\frac {uU}{c^{2}}}}}\right]^{2}\right\}$

Sostituendo $u=0,8\,c$ e $U=0,5\,c$ risulta $(L')^{2}={\underline {0,48\,c^{2}t^{2}}}=L^{2}$. Il lettore può verificare che l’invarianza $L'=L$ vale per qualsiasi coppia di velocità $u$ ed $u'$.

RAGGIO-VETTORE OPERAZIONALE

La definizione del raggio-vettore rappresenta una sintesi di proprietà matematiche e fisiche, quindi deve essere compatibile con i criteri di validazione. Dall’espressione della separazione $L={\sqrt {r^{2}+\left(ic\Delta t\right)^{2}}}$ ricaviamo quella del raggio-vettore operazionale:

$\mathbf {R} \left(\Delta x;ict\Delta t\right)\equiv \left[\mathbf {r} ;ic\left(t-\tau \right)\right]\equiv \left[\mathbf {u} \gamma \tau ;ic\tau \left(\gamma -1\right)\right]$

Notiamo che per $u\rightarrow 0$, la componente temporale $ic\left(t-\tau \right)\rightarrow 0$, quindi $\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {r}$ naturalmente, dunque per $u\rightarrow 0$ la Meccanica operazionale si riduce naturalmente a quella classica di Galileo.

Per $u_{\mathrm {O} }=0$ abbiamo l’elemento neutro $\mathbf {R} _{\mathrm {O} }(0;0)$, a conferma che la struttura algebrica della Meccanica operazionale è abeliana, proprietà apprezzabile meglio da specialisti, mentre il lettore profano può paragonarla al risultato migliore di un check-up completo fatto con le apparecchiature diagnostiche più avanzate.

La separazione spazio-temporale operazionale coincide col valore del modulo del raggio-vettore:

$\left|\mathbf {R} \right|\equiv L=c\tau {\sqrt {2\left(\gamma -1\right)}}=ut{\sqrt {2/\left(\gamma +1\right)}}$.

Notiamo che:

- il modulo $\left|\mathbf {R} \right|$ dipende dalla velocità $u$, quindi è direttamente connesso allo stato cinematica dell’oggetto;

- per $u\rightarrow 0\;\;\Rightarrow \;\;\left|\mathbf {R} \right|\rightarrow r=ut$.

La trasformazione di $\mathbf {R} \left(\Delta x;ic\Delta t\right)$ è:

$\mathbf {R'} \left(\Delta x';ic\Delta t'\right)\equiv \Gamma \left\{\left(\Delta x-U\Delta t\right);ic\left(\Delta t-{\frac {U}{c^{2}}}\Delta x\right)\right\}$.

L’invarianza di $\left|\mathbf {R} \right|$ deriva da quella della separazione spazio-temporale $L$, che abbiamo verificato anche numericamente, quindi il raggio-vettore operazionale $\mathbf {R}$ risulta in completo accordo con i tre criteri di validazione.

Abbiamo ora tre diverse espressioni del raggio-vettore corrispondenti rispettivamente alla Meccanica classica di Galileo, a quella di Minkowski, ed infine alla Meccanica operazionale. Nel grafico successivo sono rappresentati i rispettivi moduli:

Galileo	$\left|\mathbf {r} \right|=ut$.
Minkowski	$\left|\mathbf {R} _{\mathrm {M} }\right|=ct/\gamma$.
Meccanica operazionale	$\left|\mathbf {R} \right|\equiv L=ut{\sqrt {2/\left(\gamma +1\right)}}$.

- La linea (1) deriva dalla meccanica di Galileo, parte dall’origine con angolo di 45 gradi, e prosegue indefinitamente. La meccanica di Galileo non considera gli effetti relativistici, ma è una buona approssimazione per velocità piccole rispetto alla velocità della luce, fino a $u\cong 0,1\,c$.

- La linea (2) rappresenta il modulo $\left|\mathbf {R} \right|$ della Meccanica operazionale. Partendo dall’origine, nel primo tratto coincide con la linea di Galileo, in accordo col principio di convergenza. Nella seconda parte prevale la contrazione relativistica, ed alla velocità della luce la separazione spazio-temporale si annulla completamente. Questo spiega il fenomeno per cui i mesoni generati nell’alta atmosfera raggiungono la superficie terrestre, nonostante che la loro breve vita media non lo consentirebbe.

- La linea (3) rappresenta il modulo $\left|\mathbf {R} _{\mathrm {M} }\right|=ct/\gamma$ del raggio-vettore di Minkowski. È un arco di circonferenza senza nessuna relazione con lo stato fisico dell’oggetto. Il confronto con la linea (1) evidenzia l’assoluta incompatibilità col principio di convergenza relativistica. Il grafico conferma le precedenti osservazioni sulla teoria di Minkowski. Calcoliamo i parametri nel punto massimo di $\left|\mathbf {R} \right|=c\tau {\sqrt {2\left(\gamma -1\right)}}$:

	${\frac {d}{du}}\left|\mathbf {R} \right|=0$	$\Rightarrow$	${\frac {d}{du}}\left({\frac {ct}{\gamma }}{\sqrt {2\left(\gamma -1\right)}}\right)=0$
$\Rightarrow$	${\frac {d}{du}}{\sqrt {{\frac {1}{\gamma }}-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}=0$	$\Rightarrow$	$\gamma =2$	$\Rightarrow$	$u=c{\sqrt {3/4}}$.

La condizione $\gamma =2$ corrisponde a valori trigonometrici notevoli:

$\left|\mathbf {R} \right|=ct{\sqrt {1/2}}=ct\left(sin\,45^{\circ }\right)$.

$u=c{\sqrt {3/4}}=c\left(sin\,60^{\circ }\right)$.

Questa suggestiva coincidenza potrebbe essere casuale, o potrebbe essere l’indizio di proprietà dello spazio-tempo fisico ancora sconosciute. Riteniamo comunque che una ricerca su questo punto sarebbe opportuna.

Il valore massimo del modulo $\left|\mathbf {R} \right|$ corrisponde a $\gamma =2$, per cui l’energia cinetica $T=mc^{2}\left(\gamma -1\right)$ assume esattamente lo stesso valore dell’energia di riposo $E_{\mathrm {O} }=mc^{2}$.

Questa situazione rappresenta il confine oltre il quale prevalgono gli effetti relativistici, da cui si deduce la profonda connessione della Meccanica operazionale con la realtà fisica.

QUADRI-VELOCITÀ OPERAZIONALE

Dividiamo il raggio-vettore operazionale $\mathbf {R} \left[\mathbf {u} \gamma \tau ;ic\tau \left(\gamma -1\right)\right]$ per il tempo proprio $\tau$, si ottiene così la quadri-velocità operazionale:

$\mathbf {U} \left[\mathbf {u} \gamma ;ic\left(\gamma -1\right)\right]$

La forma differenziale non è necessaria perché nel moto inerziale la velocità è costante. La convergenza naturale si verifica subito, infatti per $u\rightarrow 0$ abbiamo $\mathbf {U} \rightarrow \mathbf {u}$. Il modulo si ricava dal rapporto $\left|\mathbf {R} \right|/\tau$:

$\left|\mathbf {U} \right|=c{\sqrt {2\left(\gamma -1\right)}}=u\gamma {\sqrt {2/\left(\gamma +1\right)}}$.

Per ottenere la trasformazione $\mathbf {U} '=\mathbf {R} '/\tau$ si divide per il tempo proprio $\tau$ l’espressione di $\mathbf {R} '\left(\Delta x';ic\Delta t'\right)$:

$\mathbf {U} '\equiv \Gamma \left\{\left[u\gamma -U\left(\gamma -1\right)\right];ic\left[\left(\gamma -1\right)-\gamma {\frac {uU}{c^{2}}}\right]\right\}$.

La verifica dell’invarianza è immediata:

$\left|\mathbf {U} '\right|=\left|\mathbf {R} '\right|/\tau '=\left|\mathbf {R} \right|/\tau =\left|\mathbf {U} \right|$.

Consideriamo i valori limite:

- per	$u\rightarrow 0$	$\Rightarrow$	$\left|\mathbf {U} \right|\rightarrow u$
- per	$u\rightarrow c$	$\Rightarrow$	$\left|\mathbf {U} \right|\rightarrow c{\sqrt {2\gamma }}\rightarrow \infty$.

La prima relazione prova la convergenza relativistica naturale, quindi abbiamo piena compatibilità con tutti i criteri di validazione. La seconda mostra che mentre nello spazio tridimensionale la velocità tende a $c$, nello spazio-tempo fisico la quadri-velocità diventa infinita. Dal grafico successivo risulta evidente che la velocità della luce nel vuoto ha un limite massimo finito direttamente connesso ad un elemento infinito. Si conferma ciò che Einstein aveva intuito nel 1905:

“la velocità della luce nella nostra teoria ha il ruolo, fisicamente, di una velocità infinitamente grande”.

- La linea (1) rappresenta l’espressione classica della velocità nello spazio tridimensionale. Si estende oltre il limite $c$ perché non sono considerati gli effetti relativistici.

- La linea (2) rappresenta la quadri-velocità operazionale. Nella prima parte ($u\ll c$) coincide con la linea (1), cioè con la velocità classica $u$ in accordo col principio di convergenza relativistica. Nella seconda parte diverge asintoticamente per $u\rightarrow c$; che si conferma come velocità-limite.

- La linea (3) punteggiata corrisponde alla quadri-velocità di Minkowski. Il grafico orizzontale continua indefinitamente oltre il limite della velocità della luce. Il valore costante del modulo $\left|\mathbf {U} _{\mathrm {M} }\right|=c$ vale per qualsiasi oggetto, anche se fermo. L’assurdità è evidente.

Lo spazio ordinario si deve concepire come proiezione in tre dimensioni dello spazio-tempo fisico a quattro dimensioni, per conseguenza la velocità $\mathbf {u}$ risulta proiezione nello spazio tridimensionale della quadri-velocità $\mathbf {U}$. Mentre il modulo della quadri-velocità diventa infinito, la sua proiezione $u$ tende asintoticamente a $c$.

Dalla Termodinamica risulta che la temperatura ha un limite inferiore di 0 Kelvin, perché la temperatura dipende dalla velocità media delle molecole, e non esiste velocità minore di quella di un oggetto fermo! Dalla Meccanica operazionale risulta che la velocità non può superare la velocità della luce nello spazio tridimensionale, perché questa è proiezione di una quadri-velocità infinita nello spazio-tempo fisico.

Ancora una volta dobbiamo ammettere che Einstein aveva ragione! Seguendo la Meccanica di Minkowski si è radicata nei fisici la convinzione che i quadri-vettori e le proprietà dello spazio-tempo non riguardino la realtà fisica ordinaria, ma siano piuttosto rappresentazioni matematiche formali dell’astratto mondo relativistico connesso alla velocità della luce. Questo è giustificato dal fatto che il modulo della quadri-velocità di Minkowski è sempre $\left|\mathbf {U} _{\mathrm {M} }\right|=c$. Abbiamo visto invece che si tratta di conseguenze di errori di impostazione di questa teoria.

La Meccanica operazionale chiarisce che i quadri-vettori relativistici, se formulati correttamente, rappresentano la realtà fisica per qualsiasi velocità. Per es. consideriamo una espressione classica che Newton dedusse per via puramente matematica, quella ben nota dell’energia cinetica:

$T={\frac {1}{2}}mu^{2}$.

Newton non conosceva le proprietà elettromagnetiche dello spazio-tempo scoperte secoli dopo, quindi la sua espressione non risulta corretta quando la velocità diventa confrontabile con la velocità della luce. Calcolando l’interazione dell’elettrone col campo elettrico, Einstein ha dato l’espressione corretta valida per qualsiasi velocità:

$T=mc^{2}\left(\gamma -1\right)$.

Nella Meccanica operazionale si ottiene lo stesso risultato sostituendo nell’espressione di Newton al posto della variabile matematica ($u$) il parametro operazionale $\left|\mathbf {U} \right|=c{\sqrt {2\left(\gamma -1\right)}}$:

$T={\frac {1}{2}}m\left|\mathbf {U} \right|^{2}=mc^{2}\left(\gamma -1\right)$.

Abbiamo una ennesima evidente conferma che la Meccanica operazionale rappresenta tutta la realtà fisica, da quella ordinaria a quella relativistica.

QUADRI-MOMENTO OPERAZIONALE

Il quadri-impulso operazionale si ottiene moltiplicando $\mathbf {U} \left[\mathbf {u} \gamma ;\;ic\left(\gamma -1\right)\right]$ per la massa inerziale $m$:

$\mathbf {P} \left[m\mathbf {u} \gamma ;\;{\frac {i}{c}}mc^{2}\left(\gamma -1\right)\right]$.

Similmente si ottiene il modulo:

$\left|\mathbf {P} \right|=mc{\sqrt {2\left(\gamma -1\right)}}=p{\sqrt {2/\left(\gamma +1\right)}}$

I valori limite sono:

- per	$u\rightarrow 0$	$\Rightarrow$	$\left|\mathbf {P} \right|\rightarrow p=mu\gamma$.
- per	$u\rightarrow c$	$\Rightarrow$	$\left|\mathbf {P} \right|\rightarrow mc{\sqrt {2\gamma }}\rightarrow \infty$.

La trasformazione di $\mathbf {P}$ deriva dall’espressione di $\mathbf {U} '$:

$\mathbf {P} '\equiv \Gamma \left\{\left[mu\gamma -{\frac {U}{c^{2}}}mc^{2}\left(\gamma -1\right)\right];\;{\frac {i}{c}}\left[mc^{2}\left(\gamma -1\right)-Umu\gamma \right]\right\}$.

Notiamo che il modulo $\left|\mathbf {P} \right|=mc{\sqrt {2\left(\gamma -1\right)}}$ coincide con quello ricavato per differenza dai quadri-momenti di Minkowski.

L’assenza del coefficiente immaginario prova che l’artificiosa inversione dei segni introdotta da Minkowski non è giustificata. Seguendo lo stesso procedimento applicato verificare la congruenza della teoria di Minkowski, consideriamo la differenza $\mathbf {P} _{\mathrm {d} }=\mathbf {P} _{\mathrm {a} }-\mathbf {P} _{\mathrm {b} }$:

$\mathbf {P} _{\mathrm {d} }\left[\left(\mathbf {p} _{\mathrm {a} }\gamma _{\mathrm {a} }-\mathbf {p} _{\mathrm {b} }\gamma _{\mathrm {b} }\right);\;imc\left(\gamma _{\mathrm {a} }-\gamma _{\mathrm {b} }\right)\right]$.

Il modulo risulta:

$\left|\mathbf {P} _{\mathrm {d} }\right|^{2}=\left|\mathbf {P} _{\mathrm {a} }-\mathbf {P} _{\mathrm {b} }\right|^{2}=\left(\mathbf {p} _{\mathrm {a} }\gamma _{\mathrm {a} }-\mathbf {p} _{\mathrm {b} }\gamma _{\mathrm {b} }\right)^{2}-m^{2}c^{2}\left(\gamma _{\mathrm {a} }-\gamma _{\mathrm {b} }\right)^{2}=...$

$...=2m^{2}c^{2}\left[\gamma _{\mathrm {a} }\gamma _{\mathrm {b} }\left(1-u_{\mathrm {a} }u_{\mathrm {b} }/c^{2}\right)-1\right]=2m^{2}c^{2}\left(\gamma _{\mathrm {d} }-1\right)$.

Il vettore $\mathbf {P} _{\mathrm {d} }$ ha le stesse caratteristiche formali di $\mathbf {P} _{\mathrm {a} }$ e $\mathbf {P} _{\mathrm {b} }$, in perfetto accordo con le regole dell’Algebra lineare.

Il grafico successivo permette un efficace confronto fra diverse espressioni dei moduli connessi alla quantità di moto.

- La linea (1) rappresenta l’espressione di Newton $p=mu$, che è una buona approssimazione fino alla velocità $u\equiv 0,1c$.

- La linea (2) corrisponde all’espressione relativistica della quantità di moto di Einstein $p=mu\gamma$, valida per lo spazio tridimensionale.

- La linea (3) rappresenta il modulo del quadri-momento operazionale. Notiamo che i grafici (2) e (3) condividono lo stesso asintoto per $u\rightarrow c$. Si conferma che quella della luce è la velocità-limite per gli oggetti fisici. Per $u\ll c$ il modulo $\left|\mathbf {P} \right|=p{\sqrt {2/(\gamma +1)}}$ e l’espressione di Einstein $(p=mu\gamma )$, si riducono alla quantità di moto classica di Newton $(mu)$. La evidente convergenza naturale delle prime tre espressioni rappresenta un notevole elemento di consistenza.

- La linea (4) orizzontale tratteggiata rappresenta il modulo $\left|\mathbf {P} _{\mathrm {M} }\right|=mc$ del quadri-momento di Minkowski. L’assurdità è evidente, ma per l’Esperto si tratta di “super-invarianza”. Lasciamo al lettore lo spazio sottostante per annotare liberamente i suoi commenti.

COPPIE DI PARTICELLE

Essendo $p=W/c$ l’impulso del fotone, il rapporto $W/p=c$ è costante per qualsiasi energia $W$. Consideriamo ora il rapporto:

$T/\left|\mathbf {P} \right|={\frac {mc^{2}\left(\gamma -1\right)}{mc{\sqrt {2\left(\gamma -1\right)}}}}=c{\sqrt {\frac {T/E_{\mathrm {O} }}{2}}}$.

Per $T=2E_{\mathrm {O} }$ si ha $T/\left|\mathbf {P} \right|=c$, in questa condizione si verifica la notevole “coincidenza”:

$T/\left|\mathbf {P} \right|=c=W/p$.

In talune circostanze l’energia $W$ si converte in energia inerziale, con la creazione di due particelle simmetriche di energia $E_{\mathrm {O} }=W/2$. Per il fotone di energia $W=T=2E_{\mathrm {O} }$ si verifica una sorprendente connessione fra il mondo elettromagnetico e quello inerziale:

$W/p=c=2E_{\mathrm {O} }/\left|\mathbf {P} \right|$

$p=\left|\mathbf {P} \right|$

Questa circostanza è illustrata nel grafico successivo, dove il parametro $T/\left|\mathbf {P} \right|$ è rappresentato in funzione del rapporto $T/E_{\mathrm {O} }$. Non si tratta di conservazione della quantità di moto, né di convergenza relativistica. La “coincidenza” riguarda l’impulso del fotone $p$ ed il modulo $\left|\mathbf {P} \right|$, quando l’energia del fotone è $W=2E_{\mathrm {O} }$. Occorre ribadire che $\left|\mathbf {P} \right|$ non si riferisce alla coppia di particelle simmetriche create dall’energia $W$, ma alla particella per cui $T=W=2E_{\mathrm {O} }$.

Questa connessione operazionale fra il mondo elettromagnetico e quello inerziale potrebbe portare nuova luce sul meccanismo di creazione ed annichilazione di coppie di particelle simmetriche.

CHI HA BISOGNO DEL “BOSONE DI HIGGS”?

La teoria della Relatività formulata ha fornito nel 1905 la giustificazione teorica dei risultati sperimentali di Michelson 24, anni dopo i primi esperimenti del 1881. Nei primi anni del 2000 si presentano circostanze simili a quelle che si verificarono all’inizio del 1900.

Il modulo della quadri-velocità di Minkowski $\left|\mathbf {U} _{\mathrm {M} }\right|=c$, implicherebbe che tutti gli oggetti fisici si muovano sempre alla velocità della luce. L’evidente insanabile contrasto fra teoria e realtà prova che la teoria è chiaramente sbagliata. Ma per teorie consolidate da molto tempo vi è sempre una fortissima resistenza a formulare un giudizio critico, anche in presenza di errori gravi ed evidentissimi. Non si ammette neppure la possibilità che queste teorie siano sbagliate, anzi i risultati “contro-intuitivi” sono considerati peculiarità preziose concepite da menti superiori, e si inventano ipotesi ad hoc per giustificarli. Questo avvenne per la cosmologia di Tolomeo e per l’etere luminifero. Invece di riconoscere che l’assurdo deriva da un gravissimo errore di Minkowski, è stata formulata l’ipotesi di un “campo scalare” presente in tutto l’Universo, che agirebbe “frenando” le particelle materiali.

Il meccanismo ipotizzato è piuttosto fantasioso: inizialmente tutte le particelle sarebbero prive di massa, e pertanto viaggerebbero alla velocità della luce. I fotoni non potrebbero interagire col campo scalare, essendo privi di massa continuerebbero a muoversi alla velocità della luce. Le altre particelle nell’interazione col campo scalare riceverebbero una definita quantità di massa, cosa che implica una velocità minore della luce.

Questo campo ipotetico sarebbe una specie di contenitore/erogatore della massa dell’Universo, ma non sarebbe percepibile in modo diretto (esattamente come l’etere luminifero di Maxwell) quindi si tenta di dimostrarne l’esistenza rivelando la sua particella fondamentale denominata “bosone di Higgs”. Stranamente questa teoria sembra riproporre in versione quantistica una cosa molto simile all’etere luminifero del 1800.

Per queste ricerche sono state realizzate le macchine più grandi e costose mai costruite dalla nostra civiltà. Nell’agosto del 2008 è diventato operativo il grande acceleratore LHC (Large Hadron Collider) con lo scopo principale di scoprire il “bosone di Higgs”. La Meccanica operazionale ci mette in condizione di prevedere che questa ricerca avrà esito negativo.

Essendo $\left|\mathbf {U} \right|=u\gamma {\sqrt {2/\left(\gamma +1\right)}}$ il modulo della quadri-velocità operazionale, per $u=0$ abbiamo $\left|\mathbf {U} \right|=0$. Dunque se l’oggetto è fermo nello spazio tridimensionale è fermo anche nello spazio-tempo fisico a quattro dimensioni, per conseguenza non vi è alcuna necessità né del “campo scalare” né del “bosone di Higgs”. Se l’esito di questa ricerca sarà negativo come prevediamo, saranno falsificate insieme la fantasiosa ipotesi di Higgs, l’assurda geometria di Minkowski, e ... molto altro.