Teoria degli errori e fondamenti di statistica/10.5

by Maurizio Loreti

10.5 Errori massimi

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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10.5 Errori massimi

Quando si parla di errori di misura senza specificare null’altro, si sottintende di norma che i numeri riportati si riferiscono ad errori quadratici medi; talvolta però si è in grado di indicare un intervallo all’interno del quale si sa con assoluta certezza che deve trovarsi il valore vero della grandezza misurata: in questi casi si può ovviamente attribuire un errore in termini assoluti (sia in difetto che in eccesso) al valore indicato. Supponendo per semplicità che i valori limite siamo simmetrici rispetto al risultato trovato, che si potrà quindi ancora esprimere nella forma

$x=x_{0}\pm \Delta x$,

vogliamo ora determinare la legge secondo la quale si propagano questi errori massimi nelle misure indirette.

È immediato riconoscere che, se $F=Kx$ e $x\in [x_{0}-\Delta x,x_{0}+\Delta x]$, necessariamente F deve appartenere ad un intervallo di semiampiezza $\Delta F$, con $\Delta F=|K|\,\Delta x$. Similmente, sommando (o sottraendo) due grandezze indipendenti di cui si conoscano gli errori massimi, il risultato $F=x\pm y$ dovrà essere compreso in un intervallo di semiampiezza $\Delta F=\Delta x+\Delta y$. Usando entrambe queste conclusioni, nel caso di una combinazione lineare

$F=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\,x_{i}$

l’errore massimo su F vale

$\Delta F=\sum _{i=1}^{N}\left|a_{i}\right|\Delta x_{i}$.

Per una relazione funzionale qualsiasi

$F=F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$,

e nei limiti in cui si possano trascurare i termini di ordine superiore al primo in uno sviluppo in serie di Taylor, la formula di propagazione per gli errori massimi è dunque

$\Delta F\approx \sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\right|\Delta x_{i}$;

e, per i prodotti di potenze del tipo $F=K\cdot x^{\alpha }\cdot y^{\beta }\cdots$,

${\frac {\Delta F}{|F|}}\approx |\alpha |\,{\frac {\Delta x}{|x|}}+|\beta |\,{\frac {\Delta y}{|y|}}+\cdots$.