Sulla definizione Staudtiana dell'omografia fra forme semplici reali

by Mario Pieri

Mario Pieri

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Sulla definizione Staudtiana dell'omografia fra forme semplici reali

Mario Pieri

1906

Sulla definizione Staudtiana dell'omografia fra forme semplici reali.

«Periodico di Matematica» (3), 3, anno XXI (1906), pp. 1-5.

§ I. Una famosa definizione di G. C. VON STAUDT ¹ — più tardi accolta da vari autori, e 'ormai riprodotta in ogni corso di Geometria Proiettiva — stabilisce che i termini "projettività", "omografia", o (comè anche si disse) "corrispondenza armonica" tra due forme fondamentali di 1^a specie r ed r siano sinonimi di "trasformazione univoca e reciproca di r in r, che a ciascun gruppo armonico (dell'una o dell'altra forma) coordina un gruppo armonico". Ebbi altra volta occasione di segnalare ² che c'è del superfluo e del sovrabbondante in ciascuna delle assunzioni,che la corrispondenza debba essere univoca in ambo i sensi, e convertire qualunque gruppo armonico in un gruppo armonico: cioè qualche cosa che, date le ordinarie premesse della Geometria projettiva, è conseguenza del resto.
Qui mi propongo di giustificare codesta asserzione, dimostrando che, una volta concessi i postulati I-XVII della memoria teste citata e un certo principio XVIII' (vedi il seg. § 3) che in ordine ai fini della Geometria Projettiva di 1° e 2° grado può far le veci del postulato di R. DEDEKIND, la reciprocità o invertibilità della supposta trasformazione di r in r', e la sua costanza nel riprodurre i gruppi armonici, son conseguenze di altre condizioni un po' più generali e men restrittive. Queste sono:

I Che la rappresentazione nude si parla subordini a ciascun elemento di r un solo elemento di r (sia dunque una rfr nell'accezion più generica),

II e a qualsivoglia coppia di elementi distinti l'uno dall'altro in r una coppia di elementi cziandio non coincidenti fra loro in r.

III Che esistano in r due elementi diversi fra loro e che ciascun gruppo armonico, il quale contenga l'uno o l'altro di quelli, si rappresenti per un gruppo armonico.

Che ogni trasformazione isomorfa di r in r(vale a dire soggetta alle condizioni I e II) la quale non abbia virtù di alterare le relazioni armoniche, debba esser necessariamente conversiva o reciproca, si può anche desumere dall'argomentazione algebrica di G. DARBOUX³ per cui si conferma il teorema fondamentale di Staudt, premessa la continuità della retta, che qui non occorre.
Anzi (coronario non segnalato dall'illustre A.) codesto ragionamento prova senz'altro la verità delle nostre asserzioni; perchè se ne deduce eziandio, che le proprietà significate in I, II e III sono per sè sufficienti a definire l'omografia tra forme semplici reali. E invero la dimostrazione di G. DARBOUX riposa sostanzialmente nel fatto che i gruppi armonici:

ed

i quali tutti contengono l'uno o l'altro dei punti ∞ e 1, debbono rappresentarsi per gruppi armonici.
Ma nondimeno riuscirà forse gradito ai cultori della pura geometria di Posizione il veder confermata la cosa per tutt'altra via, coi più semplici mezzi di cui si fa bello il metodo Staudtiano, e senza mai richiamarsi alla continuità della retta nel senso di R. DEDEKIND e G. CANTOR.

Osservate, che le condizioni I e III involgerebber senz'altro la II, quando per "gruppo armonico di punti" s'intendesse soltanto la figura costituita in due punti diagonali d'un quadrangolo, e nelle tracce della lor congiungente sui lati che passano dal terzo punto diagonale ⁴.
Ma qui si preferisce allargare il significato di gruppo armonico, sì da comprendervi ancora ogni quaterna di punti, dove i primi tre punti, o gli ultimi tre, coincidano.
Sotto il regime di codesta definizione si potrebbe non di meno sostituire alla condizione II quest'altra: che "nessun punto di r rappresenti infiniti punti di r (diversi fra loro)"; giusta il teorema seguente, che non dimostriamo:

"Se una retta r si trasforma univocamente in un'altra r per modo, che tutti i gruppi armonici, i quali contengono un certo punto di r si rappresentino in gruppi armonici, e che nessun punto di r rispecchi infiniti punti di r (tutti diversi fra loro), la trasformazione è necessariamente isomorfa".

In tutto ciò che segue poniamo che φ sia rappresentazione d'una retta r sopra un'altra r, soddisfacente alle condizioni I, II, III; e con x indichiamo l'immagine del punto x, qual ch'esso sia (x=φx).

Note

1. Die Geometrie der Lage. Nürnberg, Fr. Korn, 1847, n. 103.
2. I principi della Geometria di Posizione composti in sistema logico deduttivo. Memorie dell'Accademia delle Scienze di Torino, v. XLVIII (1898), § 10, in noto.
3. Sur le théorème fondamentale de la Géométrie Projective. Mathem. Annal., XVII, pag. 55.
4. STAUDT loc. cit., n. 93.