Sul fondamento logico della matematica/Numero e continuità. Fondamento dei sistemi matematici
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§ 4. - Numero e continuità.
Fondamento dei sistemi matematici.
Per passare ai sistemi trattabili coi metodi matematici riconosciamo nell’idea di continuità, che è logica ma fondamento della continuità matematica, la costante sistematica, contrariamente all’opinione di Couturat, il quale ritiene che la nozione di continuità sia puramente logica nel senso della prima operazione fondamentale, cioè deduttiva.
Si potrebbe objettare che in matematica esistono processi discontinui, ad esempio in aritmetica la serie numerica. Ma se si tiene conto, come esige la logica, del termine di riferimento, se ad esempio si considera la serie dei numeri interi, non si può dire che tra due numeri interi immediatamente successivi esista discontinuità, in quanto non esiste alcun numero intero tra essi, cioè non esiste discontinuità di numeri interi. Se considero la discontinuità dei numeri razionali analogamente non esiste discontinuità di numeri razionali. Caratteristica della matematica è l’ordinare con continuità i suoi oggetti.
Nel senso logico e relativo qui precisato della continuità, è ovvio che non vi è opposizione tra continuità e numerabilità.
Se p. e. si assume come termine di riferimento un segmento a b, la continuità logica diventa la continuità matematica (definita come corrispondenza biunivoca tra i punti del segmento a b e gli elementi dell’insieme), e cioè la continuità matematica è una continuità limite della continuità logica; la stessa continuità di una funzione f (x) in un punto c dipende in definitiva dall’idea di continuità del segmento a b.
A illustrazione del senso della continuità logica poniamo. Tutti gli enti che sodisfano ad una certa condizione K fanno parte della classe C. Se questi enti sono ordinabili secondo una successione costituiscono una classe matematica.
Dico che la classe è continua se tra due enti successivi immediati non esiste alcun ente che sodisfi alla condizione K.
Pei principj anzidetti tutte le proprietà del continuo derivante sono determinate dal numero delle idee primitive fondamentali del sistema1
Ogni numero di idee primitive determina un continuo.
La continuità in generale coincide colla numerabilità2.
Dato che il numero è fondamentale nella costruzione del sistema, possiamo concludere che il numero è come U la forma della continuità, e come D l’analisi di essa.
In un continuo fisico, il numero come U esprime la numerabilità del tempo, come D la numerabilità dello spazio.
Il metodo come sistema deduttivo è l’analisi della continuità, o ciò che è lo stesso l’analisi delle proprietà dei numeri; come forma intuitiva è la sintesi del continuo3.
Scrivere un numero significa stabilire un rapporto invariante del tipo ente-relazione nei casi elementari; del tipo discorso-universo nei casi complessi.
Ogni teorema consiste nella deduzione d’una intuizione logica.
Ogni problema si risolve coll’intuizione logica d’una deduzione.
- ↑ Questa è la traduzione del teorema del potenziamento «che ci dà lo sviluppo totale di un discorso di n termini». Mosso, Principi di logica del potenziamento. Torino, Bocca, 1923, pag. 30.
- ↑ Il principio del potenziamento logico esprime come si passa da un discorso di n termini ad uno di n + 1, cioè in fondo fissa le proprietà che in quanto valgono per n termini valgono per n + 1, procedimento caratteristico della matematica.
- ↑ La continuità, come costante sistematica, non differisce dalla forma del sistema di idee primitive; è cioè una costruzione.