Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/21: differenze tra le versioni

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-{{eq|θ<sub>{{smaller|r}}</sub> <nowiki>=</nowiki> ''q''<sub>0</sub> + ''q''<sub>1</sub> α<sub>{{smaller|r}}</sub> ''d'' + ''q''<sub>2</sub> α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>2</sup> ''d''<sup>2</sup> + ... + ''q''<sub>{{smaller|n}}—1</sub> α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>{{smaller|n}}—1</sup> ''d''<sup>{{smaller|n}}—1</sup>.|3}}
+{{eq|θ<sub>{{smaller|r}}</sub> <nowiki>=</nowiki> ''q''<sub>0</sub> + ''q''<sub>1</sub> α<sub>{{smaller|r}}</sub> ''d'' + ''q''<sub>2</sub> α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>2</sup> ''d''<sup>2</sup> + ... + ''q''<sub>{{smaller|n}}— 1</sub> α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>{{smaller|n}}— 1</sup> ''d''<sup>{{smaller|n}}— 1</sup>.|3}}
 Sia ''x'' una qualunque delle μ radici, supposte disuguali, dell’equazione F&nbsp;(''x'')&nbsp;=&nbsp;0, e sia θ<sub>{{smaller|r}}</sub> il fattore di F (''x'') che è annullato da quella radice. Derivando rispetto a ''t'' la equazione identica F (''x'') = 0, si ha (lemma 2.º)
 {{Centrato|F' (''x'') <math>\frac{dx}{dt}</math> + ''n'' <math>\begin{vmatrix} h_0 & q_1 d & q_2 d^2 & \cdots & q_{\mathrm{n}-1} d^{\mathrm{n}-1} \\ h_1 & q_2 d^2 & q_3 d^3 & \cdots & q_0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ h_{\mathrm{n}-1} & q_0 & q_1 d & \cdots & q_{\mathrm{n}-2} d^{\mathrm{n}-2} \end{vmatrix}</math> <nowiki>=</nowiki> 0}}
-ove ''h''<sub>{{smaller|s}}</sub> = <math>\frac{dq_s}{dt}</math> ''d''<sup>2</sup>; <math>\frac{dq_s}{dt}</math> indica la derivata di ''q''<sub>{{smaller|s}}</sub>, rispetto alla sola ''t'' implicita ne’ coefficienti. Trasformisi il determinante nell’equazione che precede, moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per α<sub>{{smaller|r}}</sub>, α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>2</sup>, ... α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>{{smaller|n}}—1</sup> ed aggiungendo agli elementi dell’ultima colonna moltiplicati per α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>{{smaller|n}}—1</sup> quelli della penultima, terz’ultima, ... seconda moltiplicati per α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>{{smaller|n}}—2</sup>, α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>{{smaller|n}}—3</sup>, ... α<sub>{{smaller|r}}</sub>; avendo riguardo all’equazione identica θ<sub>{{smaller|r}}</sub> = 0, si ha
+ove ''h''<sub>{{smaller|s}}</sub> = <math>\frac{dq_s}{dt}</math> ''d''<sup>2</sup>; <math>\frac{dq_s}{dt}</math> indica la derivata di ''q''<sub>{{smaller|s}}</sub>, rispetto alla sola ''t'' implicita ne’ coefficienti. Trasformisi il determinante nell’equazione che precede, moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per α<sub>{{smaller|r}}</sub>, α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>2</sup>, ... α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>{{smaller|n}}— 1</sup> ed aggiungendo agli elementi dell’ultima colonna moltiplicati per α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>{{smaller|n}}— 1</sup> quelli della penultima, terz’ultima, ... seconda moltiplicati per α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>{{smaller|n}}— 2</sup>, α<sub>{{smaller|r}}</sub><sup>{{smaller|n}}— 3</sup>, ... α<sub>{{smaller|r}}</sub>; avendo riguardo all’equazione identica θ<sub>{{smaller|r}}</sub> = 0, si ha
 {{eq|F' (''x'') <math>\frac{dx}{dt}</math> — ''n''α<sub>{{smaller|r}}</sub>H <nowiki>=</nowiki> 0|4}}
 posto
-{{Centrato|H <nowiki>=</nowiki> (—1)<sup>{{smaller|n}}</sup> <math>\begin{vmatrix} h_0 & q_0 & q_1 d & \cdots & q_{\mathrm{n}-2} d^{\mathrm{n}-2} \\ h_1 & q_1 d & q_2 d^2 & \cdots & q_{\mathrm{n}-1} d^{\mathrm{n}-1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ h_{\mathrm{n}-1} & q_{\mathrm{n}-1} d^{\mathrm{n}-1} & q_0 & \cdots & q_{\mathrm{n}-3} d^{\mathrm{n}-3} \end{vmatrix}</math>.}}
+{{Centrato|H <nowiki>=</nowiki> (— 1)<sup>{{smaller|n}}</sup> <math>\begin{vmatrix} h_0 & q_0 & q_1 d & \cdots & q_{\mathrm{n}-2} d^{\mathrm{n}-2} \\ h_1 & q_1 d & q_2 d^2 & \cdots & q_{\mathrm{n}-1} d^{\mathrm{n}-1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ h_{\mathrm{n}-1} & q_{\mathrm{n}-1} d^{\mathrm{n}-1} & q_0 & \cdots & q_{\mathrm{n}-3} d^{\mathrm{n}-3} \end{vmatrix}</math>.}}
 Sia ''a'' una quantità costante, ''f'' (''x'') una funzione razionale ed intera di ''x''; e si moltiplichi la [[#eq4|(4)]] per