Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/465: differenze tra le versioni

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 {{§|143a|(a)}} Se la cubica data è un trilatero, un vertice del quale sia <math>r</math> ed il lato opposto passi per <math>s</math>, le tre tangenti <math>i(m', m'')</math>, <math>im</math> riduconsi alle due <math>ir</math>, <math>is</math>. La seconda di queste rette può risguardarsi come tangente stazionaria della cubica data, la quale è per tal modo Hessiana di sè stessa. E l’altra retta <math>ir</math> sarà tangente in <math>i</math> ad una cubica (del fascio) avente per Hessiana il dato trilatero. Dunque ciascuna cubica trilatera è Hessiana di sè stessa e di un’altra cubica (del fascio). Cioè ''in un fascio di cubiche sizigetiche vi sono quattro curve le cui Hessiane sono i quattro trilateri del fascio.''
-{{§|143b|(b)}} Cerchiamo se nel dato fascio vi abbia alcuna cubica che sia Hessiana della propria Hessiana. Una cubica <math>\rm C</math> ha per Hessiana un’altra cubica, e l’Hessiana di questa è una nuova cubica <math>\rm C'</math>. Assunta invece ad arbitrio nel fascio la curva <math>\rm C'</math>, questa è Hessiana di tre cubiche, ciascuna delle quali è alla sua volta Hessiana di tre altre cubiche <math>\rm C</math>; talchè <math>\rm C'</math> dà nove cubiche <math>\rm C</math>. Siccome le cubiche <math>\rm C, C'</math> sono individuate dalle rispettive tangenti in <math>i</math> ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Generazione delle linee piane#46|46]]), od anche dai punti <math>n, n'</math> in cui queste segano la polare armonica <math>\rm I</math>, possiamo dire che ad ogni punto <math>n</math> corrisponde un solo punto <math>n'</math>, mentre a ciascun punto <math>n'</math> corrispondono nove punti <math>n</math>; quindi la coincidenza di due punti corrispondenti <math>n, n'</math> avrà luogo dieci volte, cioè vi sono dieci cubiche sodisfacenti alla condizione proposta. Di questo numero sono i quattro trilateri sizigetici; epperò, lasciatili da parte, avremo:
+{{§|143b|(b)}} Cerchiamo se nel dato fascio vi abbia alcuna cubica che sia Hessiana della propria Hessiana. Una cubica <math>\rm C</math> ha per Hessiana un’altra cubica, e l’Hessiana di questa è una nuova cubica <math>\rm C'</math>. Assunta invece ad arbitrio nel fascio la curva <math>\rm C'</math>, questa è Hessiana di tre cubiche, ciascuna delle quali è alla sua volta Hessiana di tre altre cubiche <math>\rm C</math>; talchè <math>\rm C'</math> dà nove cubiche <math>\rm C</math>. Siccome le cubiche <math>\rm C, C'</math> sono individuate dalle rispettive tangenti in <math>i</math> ([[Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Generazione delle linee piane#46|46]]), od anche dai punti <math>n, n'</math> in cui queste segano la polare armonica <math>\rm I</math>, possiamo dire che ad ogni punto <math>n</math> corrisponde un solo punto <math>n'</math>, mentre a ciascun punto <math>n'</math> corrispondono nove punti <math>n</math>; quindi la coincidenza di due punti corrispondenti <math>n, n'</math> avrà luogo dieci volte, cioè vi sono dieci cubiche sodisfacenti alla condizione proposta. Di questo numero sono i quattro trilateri sizigetici; epperò, lasciatili da parte, avremo:
 ''Un fascio di cubiche sizigetiche contiene sei cubiche, ciascuna delle quali è Hessiana della propria Hessiana''<ref>{{Sc|{{AutoreCitato|George Salmon|Salmon}}}}, ''Higher plane curves'', p. 184. — {{Sc|{{AutoreCitato|Siegfried Heinrich Aronhold|Aronhold}}}}, ''Zur Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei Variabeln'' (Giornale di {{Sc|Crelle}}, t. 39, Berlino 1850, p. 153). — {Le sei cubiche di cui sopra si parla si dividono in tre coppie; le cubiche di una coppia sono l’una Hessiana dell’altra.}</ref>.
-{{§|144|144}}. Vogliamo ora trovare la relazione segmentarla esprimente la projettività che ha luogo fra l’involuzione di terzo grado formata dai punti <math>mm'm''</math> e la semplice serie generata dal punto <math>n</math> ([[#143|143]]). Preso per origine de’ segmenti un punto <math>r</math>, cioè quel vertice di uno de’ trilateri sizigetici che cade nella retta <math>\rm I</math>; e chiamato <math>m</math> uno qualunque de’ punti <math>mm'm''</math>, la projettività di che si tratta sarà espressa da un’equazione della forma ([[Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Teoria dell'involuzione#24a|24, a]]):
+{{§|144|144}}. Vogliamo ora trovare la relazione segmentarla esprimente la projettività che ha luogo fra l’involuzione di terzo grado formata dai punti <math>mm'm''</math> e la semplice serie generata dal punto <math>n</math> ([[#143|143]]). Preso per origine de’ segmenti un punto <math>r</math>, cioè quel vertice di uno de’ trilateri sizigetici che cade nella retta <math>\rm I</math>; e chiamato <math>m</math> uno qualunque de’ punti <math>mm'm''</math>, la projettività di che si tratta sarà espressa da un’equazione della forma ([[Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Teoria dell'involuzione#24a|24, a]]):
 {{eq|<math>(\mathrm{A}.rn + \mathrm{A}') \overline{rm}^3 + 3 (\mathrm{B}. rn + \mathrm{B}') \overline{rm}^2</math><math>+3 (\mathrm{C}. rn + \mathrm{C}') rm + \mathrm{D}. rn +\mathrm{D}'=0</math>,|1}}